A reação
A \rightarrow B
Deve ser conduzida isotermicamente em um reator de escoamento contínuo. Calcule os volumes de ambos os reatores CSTR e PFR necessários para consumir 99% de A quando a vazão molar de entrada for 5 \mathrm{~mol} / \mathrm{h}, assumindo que a velocidade de reação é de:
\quad-r_{A}=k C_{A} com k=0,0001 s^{-1}
Dados: C_{A}=0,01 C_{A 0}, v_{0}=10 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{h}
Utiliza a relação de F x v para calcular \mathrm{C}_{ A 0}.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos.
  • Pede: calcular o volume necessário para consumir 99\% de A (ou seja, conversão X=0{,}99) em dois reatores isotérmicos de escoamento contínuo: CSTR e PFR.
  • Dados fornecidos:
    • Reação: A \rightarrow B.
    • Lei de velocidade: -r_{A}=k C_{A}.
    • Constante de velocidade: k=0{,}0001\\ \mathrm{s}^{-1}.
    • Vazão molar de entrada: F_{A0}=5\\ \mathrm{mol/h}.
    • Vazão volumétrica (volume específico de escoamento): v_{0}=10\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h}.
    • Objetivo de conversão: X=0{,}99. Isso implica que a concentração de saída é C_{A}=0{,}01\,C_{A0} (o enunciado deu explicitamente C_{A}=0{,}01\,C_{A0}).
  • Observação pedida: usar a relação F=v\,C para calcular C_{A0}.

Passo 2

Calcular C_{A0}, C_A de saída e ajustar unidades de k.
  • Relação entre vazão molar e concentração: F_{A0}=v_{0}\,C_{A0}. Daí C_{A0}=\frac{F_{A0}}{v_{0}}.Substituindo F_{A0}=5\\ \mathrm{mol/h} e v_{0}=10\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h}, C_{A0}=\frac{5}{10}=0{,}5\\ \mathrm{mol/dm}^{3}.(Lembrando que 1\\ \mathrm{dm}^{3}=1\\ \mathrm{L}.)
  • Concentração de saída (99% consumido, sobra 1\%): C_{A}=0{,}01\,C_{A0}=0{,}01\times 0{,}5=0{,}005\\ \mathrm{mol/dm}^{3}.
  • Converter k de \mathrm{s}^{-1} para \mathrm{h}^{-1} para combinar com as vazões em horas: k=0{,}0001\\ \mathrm{s}^{-1}\times 3600\\ \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{h}}=0{,}36\\ \mathrm{h}^{-1}.

Passo 3

Projetando o CSTR — balanço e fórmula.
  • Balanço molar estacionário para A em um CSTR (estado estacionário, fluxo de entrada menos saída menos consumo pela reação é zero): F_{A0}-F_{A}+(-r_{A})V=0.Rearranjando (lembrando que -r_A>0 é a taxa de consumo por volume): V=\frac{F_{A0}-F_{A}}{-r_{A}}.Aqui:
    • F_{A0} e F_A têm unidades \mathrm{mol/h}.
    • -r_A tem unidades \mathrm{mol}/(\mathrm{dm}^3\cdot\mathrm{h}).
    • V fica em \mathrm{dm}^3.
  • Para um CSTR assume-se que a concentração dentro do reator é igual à concentração de saída, então substituímos -r_A=k C_A com C_A calculado no passo anterior.
  • Calcular -r_A: -r_{A}=k\,C_{A}=0{,}36\\ \mathrm{h}^{-1}\times 0{,}005\\ \mathrm{mol/dm}^{3}=0{,}0018\\ \mathrm{mol}/(\mathrm{dm}^{3}\cdot\mathrm{h}).
  • Calcular F_A (vazão molar de saída) usando F_A=v_0 C_A: F_A=v_{0}C_A=10\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h}\times 0{,}005\\ \mathrm{mol/dm}^{3}=0{,}05\\ \mathrm{mol/h}.
  • Agora o volume do CSTR: V_{\text{CSTR}}=\frac{F_{A0}-F_{A}}{-r_{A}}=\frac{5-0{,}05}{0{,}0018}=\frac{4{,}95}{0{,}0018}=2750\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Converter para metros cúbicos (opcional): 2750\\ \mathrm{dm}^{3}=2{,}75\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 4

Projetando o PFR — balanço diferencial e integração.
  • Para um PFR (reator tubular ideal), o balanço diferencial é \frac{dF_A}{dV}=-r_A,onde F_A é a vazão molar de A que varia ao longo do reator.
  • Relacionando com conversão X: F_A=F_{A0}(1-X) e C_A=C_{A0}(1-X).
  • Diferenciando F_A: dF_A=-F_{A0}\,dX. Substituindo no balanço: -F_{A0}\frac{dX}{dV}=-r_A \quad\Rightarrow\quad dV=\frac{F_{A0}}{-r_A}\,dX.Integrando de X=0 até X=X_{\text{final}}: V=\int_{0}^{X}\frac{F_{A0}}{-r_A}\,dX.
  • Substituir -r_A=k C_A=k C_{A0}(1-X): V=\int_{0}^{X}\frac{F_{A0}}{k C_{A0}(1-X)}\,dX=\frac{F_{A0}}{k C_{A0}}\int_{0}^{X}\frac{dX}{1-X}.A integral \int_{0}^{X}\frac{dX}{1-X}=-\ln(1-X). Portanto V=\frac{F_{A0}}{k C_{A0}}\big[-\ln(1-X)\big]_{0}^{X}=\frac{F_{A0}}{k C_{A0}}\big(-\ln(1-X)\big).
  • Simplificação usando F_{A0}=v_{0}C_{A0}: V=\frac{v_{0}C_{A0}}{k C_{A0}}\big(-\ln(1-X)\big)=\frac{v_{0}}{k}\big(-\ln(1-X)\big).Ou escrito de outra forma: V=\frac{v_{0}}{k}\ln\!\left(\frac{1}{1-X}\right).
  • Agora substituir v_{0}=10\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h}, k=0{,}36\\ \mathrm{h}^{-1} e X=0{,}99 (então 1-X=0{,}01): V_{\text{PFR}}=\frac{10}{0{,}36}\ln\!\left(\frac{1}{0{,}01}\right)=\frac{10}{0{,}36}\ln(100).Como \ln(100)\approx 4{,}605170, V_{\text{PFR}}=\frac{10}{0{,}36}\times 4{,}605170\approx 127{,}92\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Converter para metros cúbicos: 127{,}92\\ \mathrm{dm}^{3}=0{,}12792\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida.
  • Resultados obtidos:
    • V_{\text{CSTR}}=2750\\ \mathrm{dm}^{3} ( =2{,}75\\ \mathrm{m}^{3}).
    • V_{\text{PFR}} \approx 127{,}9\\ \mathrm{dm}^{3} ( =0{,}1279\\ \mathrm{m}^{3}).
  • Observação física: para uma reação de primeira ordem o PFR fornece maior conversão por unidade de volume do que um CSTR operando na mesma condição de entrada — por isso o volume requerido do PFR é muito menor. Aqui a diferença é grande porque a reação é relativamente lenta (pequeno k por segundo) e a meta de conversão é alta.
  • Conferência de unidades: todos os cálculos foram feitos em \mathrm{h} e \mathrm{dm}^{3} para compatibilidade com F_{A0} em \mathrm{mol/h} e v_{0} em \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h}. A conversão de k para \mathrm{h}^{-1} foi essencial.

Resposta

V_{\text{CSTR}}=2750\\ \mathrm{dm}^{3}=2{,}75\\ \mathrm{m}^{3}
V_{\text{PFR}}\approx127{,}9\\ \mathrm{dm}^{3}=0{,}1279\\ \mathrm{m}^{3}

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