Refaça o exercício 4, agora para:
dada por
Passo 1
O enunciado define o operador linear
Vamos representar
na base canônica de
, calcular núcleo e imagem, determinar posto e nulidade e verificar injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Escolhemos a base canônica
de
. Para cada vetor de
vamos aplicar
e escrever o resultado em coordenadas na mesma base.
Passo 3
Calculamos as derivadas:
Em coordenadas na base
isso corresponde a
Passo 4
A matriz de
na base
tem colunas dadas por essas coordenadas, ou seja
Passo 5
Para o núcleo, seja
p(t)=a+bt+ct^2+dt^3 . Então
Impor
D(p)=0 como polinômio leva a
b=c=d=0 . Logo
com
diml(ker(D)r)=1 .
Passo 6
A imagem de
D é o conjunto de todas as derivadas, isto é, polinômios de grau no máximo 2. Assim
com
diml(Im(D)r)=3 .
Passo 7
Pela dimensão de
P3(R) temos
dim=4 e o teorema de posto e nulidade dá
Como
nullity(D)=1neq0 ,
D não é injetora. E como
Im(D)=P2(R)neq P3(R) ,
D não é sobrejetora em
P3(R) .
Resposta
A matriz de
D na base canônica
B=1,t,t^2,t^3 é