Refaça o exercício 4, agora para:
F: P3(R) P3(R) dada por D(p(t))=p^prime(t)

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Dcolon P3(R) to P3(R), Dl(p(t)r)=p'(t)
Vamos representar D na base canônica de P3(R), calcular núcleo e imagem, determinar posto e nulidade e verificar injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Escolhemos a base canônica
B = 1,;t,;t^2,;t^3
de P3(R). Para cada vetor de B vamos aplicar D e escrever o resultado em coordenadas na mesma base.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
D(1)=0, D(t)=1, D(t^2)=2t, D(t^3)=3t^2
Em coordenadas na base B isso corresponde a
D(1)mapsto(0,0,0,0), D(t)mapsto(1,0,0,0), D(t^2)mapsto(0,2,0,0), D(t^3)mapsto(0,0,3,0)

Passo 4

A matriz de D na base B tem colunas dadas por essas coordenadas, ou seja
[D]B = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0

Passo 5

Para o núcleo, seja p(t)=a+bt+ct^2+dt^3. Então
D(p)=b + 2c,t + 3d,t^2
Impor D(p)=0 como polinômio leva a b=c=d=0. Logo
ker(D)=a : ainR=span1,
com diml(ker(D)r)=1.

Passo 6

A imagem de D é o conjunto de todas as derivadas, isto é, polinômios de grau no máximo 2. Assim
Im(D)=P2(R),
com diml(Im(D)r)=3.

Passo 7

Pela dimensão de P3(R) temos dim=4 e o teorema de posto e nulidade dá
rank(D)+nullity(D)=3+1=4
Como nullity(D)=1neq0, D não é injetora. E como Im(D)=P2(R)neq P3(R), D não é sobrejetora em P3(R).

Resposta

A matriz de D na base canônica B=1,t,t^2,t^3 é
[D]B= 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0
ker(D)=span1 com dimensão 1,
Im(D)=P2(R) com dimensão 3,
rank(D)=3,
nullity(D)=1;
D não é injetora nem sobrejetora em P3(R).

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