Refaça o exercício 4, agora para:
F: V V, onde V é um espaço vetorial finitamente gerado qualquer e F(v)=v, a transformação identidade.

Passo 1

O enunciado pede para repetir o que foi feito no exercício 4 — isto é, determinar os polinômios característico e minimal de F, a forma de Jordan e comentar a diagonalizabilidade — agora para
Fcolon Vto V, V espaço vetorial finitamente >=rado de dimensão n, F(v)=v forall vin V çã
Para resolver, vamos escolher uma base de V e usar definições padrão de polinômio característico, polinômio minimal e teoria de Jordan.

Passo 2

Escolhendo qualquer base B=e1,dots,en de V, a matriz de F em relação a B é
[F]B = In,
pois F(ei)=ei para todo i.

Passo 3

O polinômio característico de F é
pF(t)=detl(tIn - Inr) =detl((t-1)Inr) =(t-1)^n

Passo 4

O polinômio minimal mF(t) é o monic de menor grau tal que mF(F)=0. Como
F - IV = 0,
vemos que
mF(t)=t-1

Passo 5

Para a forma de Jordan, observe que o único valor próprio é lambda=1, e o polinômio minimal tem raiz simples. Logo todos os blocos de Jordan são 1times1, e a forma de Jordan de F é
J = In

Passo 6

Como o polinômio minimal tem todas as raízes simples (apenas ,t-1), F é diagonalizável. De fato, já vimos que sua matriz é a identidade, que é extamente uma matriz diagonal.

Resposta

Polinômio característico:
pF(t) = (t-1)^n
Polinômio minimal:
mF(t) = t-1
Forma de Jordan:
J = In
Diagonalizabilidade: F é diagonalizável.

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