Refaça o exercício 4, agora para:
, onde
é um espaço vetorial finitamente gerado qualquer e
, a transformação identidade.
Passo 1
O enunciado pede para repetir o que foi feito no exercício 4 — isto é, determinar os polinômios característico e minimal de
, a forma de Jordan e comentar a diagonalizabilidade — agora para
Para resolver, vamos escolher uma base de
e usar definições padrão de polinômio característico, polinômio minimal e teoria de Jordan.
Passo 2
Escolhendo qualquer base
de
, a matriz de
em relação a
é
pois
para todo
.
Passo 3
O polinômio característico de
é
Passo 4
O polinômio minimal
é o monic de menor grau tal que
. Como
vemos que
Passo 5
Para a forma de Jordan, observe que o único valor próprio é
, e o polinômio minimal tem raiz simples. Logo todos os blocos de Jordan são
, e a forma de Jordan de
é
Passo 6
Como o polinômio minimal tem todas as raízes simples (apenas
),
é diagonalizável. De fato, já vimos que sua matriz é a identidade, que é extamente uma matriz diagonal.
Resposta
Polinômio característico:
Polinômio minimal:
Forma de Jordan:
Diagonalizabilidade:
é diagonalizável.