Refaça o exercício 4, agora para:
F: P2(R) P3(R) dada por F(p(t))=p(t)+t^2 p^prime(t)

Passo 1

O enunciado define
Fcolon P2(R)to P3(R), Fl(p(t)r)=p(t)+t^2,p'(t)
Queremos mostrar que F é transformação linear, achar sua matriz na base canônica de P2 e P3, e determinar o núcleo e a imagem de F.

Passo 2

Para ver que F é linear, tomamos p,qin P2(R) e alpha,betainR. Então
Fl(alpha p+beta qr) =l(alpha p+beta qr)+t^2l(alpha p+beta qr)' =alphal[p+t^2p'r]+betal[q+t^2q'r] =alpha F(p)+beta F(q),
logo F preserva combinações lineares.

Passo 3

Vamos aplicar F à base canônica de P2(R), que é 1,t,t^2.
  1. Para p(t)=1 temos p'(t)=0, então
F(1)=1+t^2cdot0=1
  1. Para p(t)=t temos p'(t)=1, então
F(t)=t+t^2cdot1=t+t^2
  1. Para p(t)=t^2 temos p'(t)=2t, logo
F(t^2)=t^2+t^2cdot2t=t^2+2t^3

Passo 4

Expressamos cada Fl(baser) na base canônica de P3(R), que é 1,t,t^2,t^3.
  • F(1)=1 corresponde ao vetor coluna 1000.
  • F(t)=t+t^2 corresponde a 0110.
  • F(t^2)=t^2+2t^3 corresponde a 0012.

Passo 5

A matriz de F relativa às bases canônicas é então a matriz 4times3 cujas colunas são esses vetores:
[F] = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2

Passo 6

Para achar o núcleo, resolvemos F(p)=0. Seja
p(t)=a0+a1t+a2t^2, p'(t)=a1+2a2t
Então
F(p)=a0+a1t+a2t^2+t^2(a1+2a2t) =a0+a1t+(a2+a1)t^2+2a2t^3
Impor F(p)equiv0 dá o sistema
a0=0, a1=0, a2+a1=0, 2a2=0
que só admite a0=a1=a2=0. Logo
ker F=0

Passo 7

A dimensão de P2(R) é 3 e ker F tem dimensão 0, portanto dimIm F=3. Como imagens dos vetores de base são independentes,
Im F=span,1,;t+t^2,;t^2+2t^3,
um subespaço de dimensão 3 em P3(R).

Resposta

Matriz de F nas bases canônicas:
[F] = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2
ker F=0 (logo F é injetora),
Im F=span1,;t+t^2,;t^2+2t^3 com dimIm F=3.

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