Refaça o exercício 4, agora para:
dada por
Passo 1
O enunciado define
Queremos mostrar que
é transformação linear, achar sua matriz na base canônica de
e
, e determinar o núcleo e a imagem de
.
Passo 2
Para ver que
é linear, tomamos
e
. Então
logo
preserva combinações lineares.
Passo 3
Vamos aplicar
à base canônica de
, que é
.
- Para
temos , então
- Para
temos , então
- Para
temos , logo
Passo 4
Expressamos cada
na base canônica de
, que é
.
-
corresponde ao vetor coluna . -
corresponde aF(t)=t+t^2 .0110 -
corresponde aF(t^2)=t^2+2t^3 .0012
Passo 5
A matriz de
F relativa às bases canônicas é então a matriz
4times3 cujas colunas são esses vetores:
Passo 6
Para achar o núcleo, resolvemos
F(p)=0 . Seja
Então
Impor
F(p)equiv0 dá o sistema
que só admite
a0=a1=a2=0 . Logo
Passo 7
A dimensão de
P2(R) é 3 e
ker F tem dimensão 0, portanto
dimIm F=3 . Como imagens dos vetores de base são independentes,
um subespaço de dimensão 3 em
P3(R) .
Resposta
Matriz de
F nas bases canônicas: