A transformação T: M2 times 2 M2 times 2 que leva toda matriz à sua transposta é definitivamente linear. Quais dessas propriedades são verdadeiras? Justifique.
(a) T^2 dado por T^2(M)=T(T(M)) é a transformação identidade.
(b) O núcleo de T contém apenas a matriz nula.
(c) Todas as matrizes 2 times 2 estão na imagem de T.
(d) T(M)=-M é impossível.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon M2times2to M2times2, T(M)=M^T,
e pede para julgarmos as afirmações sobre T:
(a) T^2 é a identidade;
(b) ker T é apenas a matriz nula;
(c) ImT=M2times2;
(d) não existe M tal que T(M)=-M.
Vamos usar propriedades elementares de transposta, núcleo e imagem de transformações lineares.

Passo 2

Verificamos (a): para toda matriz Min M2times2 vale
T^2(M)=Tl(T(M)r)=Tl(M^Tr)=l(M^Tr)^T=M
Como T^2(M)=M para todo M, concluímos que T^2 é de fato a transformação identidade.

Passo 3

Analisamos (b):
Se satisfaz , então
logo é a matriz nula. Assim .

Passo 4

Estudamos (c): para mostrar que ImT=M2times2, basta ver que para qualquer Nin M2times2 existe M tal que T(M)=N. Tomando M=N^T temos
T(M)=T(N^T)=(N^T)^T=N,
logo NinImT. Portanto T é sobrejetora e ImT=M2times2.

Passo 5

Afirmativa (d) diz que não existe M com T(M)=-M, ou seja, não haveria solução de
M^T=-M
Mas matrizes antissimétricas satisfazem isso. Por exemplo,
M=0&1-1&0,
pois
M^T=0&-11&0=-0&1-1&0=-M
Logo existem não-nulas soluções, e a afirmativa (d) é falsa.

Resposta

As afirmações (a), (b) e (c) são verdadeiras, e (d) é falsa.

Exercícios relacionados