A transformação
que leva toda matriz à sua transposta é definitivamente linear. Quais dessas propriedades são verdadeiras? Justifique.
(a)
dado por
é a transformação identidade.
(b) O núcleo de
contém apenas a matriz nula.
(c) Todas as matrizes
estão na imagem de
.
(d)
é impossível.
(a)
(b) O núcleo de
(c) Todas as matrizes
(d)
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede para julgarmos as afirmações sobre
:
(a) é a identidade;
(b) é apenas a matriz nula;
(c) ;
(d) não existe tal que
.
Vamos usar propriedades elementares de transposta, núcleo e imagem de transformações lineares.
(a)
(b)
(c)
(d) não existe
Vamos usar propriedades elementares de transposta, núcleo e imagem de transformações lineares.
Passo 2
Verificamos (a): para toda matriz
vale
Como
para todo
, concluímos que
é de fato a transformação identidade.
Passo 3
Analisamos (b):
Se satisfaz
, então
logo
é a matriz nula. Assim
.
Passo 4
Estudamos (c): para mostrar que
, basta ver que para qualquer
existe
tal que
. Tomando
temos
logo
. Portanto
é sobrejetora e
.
Passo 5
Afirmativa (d) diz que não existe
com
, ou seja, não haveria solução de
Mas matrizes antissimétricas satisfazem isso. Por exemplo,
pois
Logo existem não-nulas soluções, e a afirmativa (d) é falsa.
Resposta
As afirmações (a), (b) e (c) são verdadeiras, e (d) é falsa.