(Referencial Não-Inercial) Um pêndulo simples de comprimento L está pendurado no teto de um vagão de trem que acelera horizontalmente em linha reta com uma aceleração constante a_{0}. Qual é o novo período T das pequenas oscilações desse pêndulo do ponto de vista de um observador no trem?
a) T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}
b) T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g+a_{0}}}
c) T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}}}
d) T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{\sqrt{g^{2}-a_{0}^{2}}}}
e) T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{a_{0}}}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Um pêndulo simples de comprimento L está preso ao teto de um vagão.
  • O vagão acelera horizontalmente com aceleração constante a_{0}.
  • A pergunta: qual é o novo período T das pequenas oscilações do pêndulo do ponto de vista de um observador que está no trem?
  • As alternativas fornecidas são:
    • (a) T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}
    • (b) T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g+a_{0}}}
    • (c) T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}}}
    • (d) T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{\sqrt{g^{2}-a_{0}^{2}}}}
    • (e) T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{a_{0}}}

Passo 2

Entender as forças vistas pelo observador no trem (quadro não inercial) — descrição física didática.
  • Do ponto de vista do observador no trem, além do peso m g (vertical para baixo) aparece uma força inercial (fictícia) devido à aceleração do referencial: -m a_{0} (direcionada para trás, oposta à aceleração do trem).
  • Essas duas forças juntas podem ser vistas como uma única “gravidade efetiva” resultante. É útil desenhar o vetor resultante \mathbf{g}_{\text{eff}} que é a soma vetorial de -g\hat{y} (para baixo) e a_{0}\hat{x} (para trás, usando sinais consistentes).
  • A magnitude dessa aceleração efetiva é g_{\text{eff}}=\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}.(Isto vem da soma vetorial de dois vetores perpendiculares de módulos g e a_{0}.)
Comentário informal: pense que, no trem, o pêndulo “sente” uma gravidade inclinada — não mais só para baixo — e com módulo maior que g.

Passo 3

Encontro da posição de equilíbrio (ângulo de repouso) — explicação e fórmula.
  • Em repouso relativo (sem oscilações), o fio do pêndulo alinha-se com a direção do vetor \mathbf{g}_{\text{eff}}.
  • Se chamarmos de \theta_{0} o ângulo que o fio faz com a vertical (no trem), então a tangente desse ângulo satisfaz \tan\theta_{0}=\frac{a_{0}}{g}.
  • Isso é fácil de visualizar: a componente horizontal da “gravidade efetiva” é a_{0} e a vertical é g, logo a inclinação do fio obedece essa razão.
Pequena motivação: isto explica por que, quando o trem acelera, o pêndulo fica inclinado para trás.

Passo 4

Escolha de coordenada para as oscilações pequenas e escrita da equação do movimento — passo a passo didático.
  • Medimos pequenas oscilações \delta(t) em torno da posição de equilíbrio \theta_{0}. Ou seja, o ângulo total do fio é \theta(t)=\theta_{0}+\delta(t), com \delta pequeno.
  • No referencial do trem, a única aceleração “real” que produz torque restaurador é a componente de \mathbf{g}_{\text{eff}} perpendicular ao fio deslocado.
  • Para um pêndulo de massa m considerada puntiforme e fio sem massa, o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão é I=mL^{2}.
  • O torque restaurador (em módulo) para um deslocamento \delta é aproximadamente \tau \approx -m g_{\text{eff}} L \sin\delta.O sinal menos indica que o torque tende a restaurar \delta para zero (oposição ao deslocamento).
  • Para pequenas oscilações usamos a aproximação de pequeno ângulo: \sin\delta \approx \delta.Explicação rápida: para \delta em radianos e pequeno, a diferença entre \sin\delta e \delta é de ordem \delta^{3}, negligenciável em pequenas oscilações.

Passo 5

Montagem da equação diferencial e obtenção da frequência própria — com explicação das etapas.
  • Equação de movimento rotacional: I\ddot{\delta}=\tau. Substituindo I=mL^{2} e \tau aproximado: mL^{2}\,\ddot{\delta} = -m g_{\text{eff}} L \,\delta.
  • Simplificando (cancelando m e um fator L): \ddot{\delta} + \frac{g_{\text{eff}}}{L}\,\delta = 0.
  • Esta é a equação de um oscilador harmônico simples, cuja frequência angular natural é \omega^{2}=\frac{g_{\text{eff}}}{L}.Ou seja, \omega=\sqrt{\frac{g_{\text{eff}}}{L}}.
Didática: sempre que chegar a uma equação do tipo \ddot{x}+\omega^{2}x=0, a solução é harmônica com período T=2\pi/\omega.

Passo 6

Cálculo final do período usando a expressão de g_{\text{eff}} e conclusão.
  • Substituindo g_{\text{eff}}=\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}} em \omega: \omega=\sqrt{\frac{\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}}{L}}.
  • O período T é T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{L}{\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}}}.
  • Interpretação curta: o pêndulo oscila como se estivesse sob uma “gravidade” de magnitude \sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}, portanto o período diminui comparado ao caso sem aceleração horizontal (porque o módulo efetivo da gravidade aumentou).
Força motivadora: você conseguiu! A ideia chave é substituir a gravidade real por uma gravidade efetiva no referencial acelerado, achar o equilíbrio e linearizar.

Resposta

(c) T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}}}

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