Quando nos referimos as quantidades tais como a massa, a força, o tempo, a pressão, o comprimento, a velocidade e a temperatura, estamos falando de grandezas comuns na mecânica dos fluidos. Sabemos também que essas quantidades podem ser divididas em dois grupos dimensionais: Dimensões Primárias e Dimensões Secundárias. Deste modo, considerando essas dimensões, separe as grandezas enunciadas acima entre esses dois grupos, colocando também suas respectivas unidades dimensionais no Sistema Internacional.

Passo 1

O que o enunciado pede: separar as grandezas listadas entre os dois grupos dimensionais — Dimensões Primárias e Dimensões Secundárias — e informar, para cada grandeza, a sua unidade no Sistema Internacional (SI).
As grandezas fornecidas no enunciado são:
  • massa
  • força
  • tempo
  • pressão
  • comprimento
  • velocidade
  • temperatura

Passo 2

O que significa “Dimensões Primárias” e “Dimensões Secundárias” (explicação didática e simples).
  • Dimensões Primárias: são as quantidades fundamentais escolhidas como base para expressar as demais. Elas têm unidades base no SI e não são definidas em função de outras grandezas. Aqui vamos trabalhar com as primárias relevantes para mecânica dos fluidos: massa, comprimento, tempo e temperatura.
  • Dimensões Secundárias (ou derivadas): são grandezas definidas a partir das primárias por relações físicas (ex.: equações ou definições). Por exemplo, velocidade é comprimento dividido por tempo; pressão é força por área; força vem de massa vezes aceleração.
Vou usar símbolos para as dimensões fundamentais:
  • massa: M
  • comprimento: L
  • tempo: T
  • temperatura: \Theta
E a notação padrão para a “fórmula dimensional” de uma grandeza é, por exemplo, [X] = M^a L^b T^c \Theta^d.

Passo 3

Listando as unidades base do SI que usaremos e a relação com as dimensões:
  • massa: unidade no SI \mathrm{kg} (quilograma). Dimensão: M.
  • comprimento: unidade no SI \mathrm{m} (metro). Dimensão: L.
  • tempo: unidade no SI \mathrm{s} (segundo). Dimensão: T.
  • temperatura: unidade no SI \mathrm{K} (kelvin). Dimensão: \Theta.
Essas quatro são as primárias importantes para o enunciado.

Passo 4

Tratar a grandeza massa:
  • Definição curta: massa é uma grandeza fundamental; não se define a partir de outras.
  • Dimensão: [{\rm massa}] = M.
  • Unidade SI: \mathrm{kg}.

Passo 5

Tratar a grandeza comprimento:
  • Definição curta: comprimento (ou posição, distância) é fundamentaI.
  • Dimensão: [{\rm comprimento}] = L.
  • Unidade SI: \mathrm{m}.

Passo 6

Tratar a grandeza tempo:
  • Definição curta: tempo é fundamental.
  • Dimensão: [{\rm tempo}] = T.
  • Unidade SI: \mathrm{s}.

Passo 7

Tratar a grandeza temperatura:
  • Definição curta: temperatura termodinâmica é considerada dimensão primária.
  • Dimensão: [{\rm temperatura}] = \Theta.
  • Unidade SI: \mathrm{K}.

Passo 8

Tratar a grandeza velocidade (exemplo de derivada simples):
  • Definição: velocidade média é razão entre deslocamento e intervalo de tempo.
  • Fórmula: \displaystyle v=\frac{\Delta x}{\Delta t}.
  • Dimensão: [v]=\frac{L}{T}=L\,T^{-1}.
  • Unidade SI: \mathrm{m\;s^{-1}}.
Explicação passo a passo (para provar a dimensão): deslocamento tem dimensão L, tempo tem dimensão T, dividindo dá L/T. Isso mostra que velocidade é uma grandeza derivada, logo entra em Dimensões Secundárias.

Passo 9

Tratar a grandeza força (derivada via segunda lei de Newton):
  • Definição: força é a grandeza que, pela segunda lei de Newton, produz aceleração numa massa: \displaystyle F = m a.
  • Aceleração é variação da velocidade no tempo: \displaystyle a=\frac{\Delta v}{\Delta t} com dimensão L\,T^{-2}.
  • Dimensão de F: [F]=[m]\,[a]=M\cdot L\,T^{-2}=M\,L\,T^{-2}.
  • Unidade SI: unidade derivada newton \mathrm{N}, com 1\\ \mathrm{N}=1\\ \mathrm{kg\;m\;s^{-2}}.
Explicação: massa tem dimensão M. Aceleração tem L\,T^{-2}. Multiplicando dá M L T^{-2}, portanto força é derivada.

Passo 10

Tratar a grandeza pressão (derivada via definição de pressão):
  • Definição: pressão é força por unidade de área: \displaystyle p=\frac{F}{A}.
  • Área tem dimensão L^2.
  • Dimensão de p: [p]=\frac{[F]}{[A]}=\frac{M\,L\,T^{-2}}{L^{2}}=M\,L^{-1}\,T^{-2}.
  • Unidade SI: pascal \mathrm{Pa}, com 1\\ \mathrm{Pa}=1\\ \mathrm{N\;m^{-2}}=1\\ \mathrm{kg\;m^{-1}\;s^{-2}}.
Explicação: dividindo força (que já é derivada) pela área (comprimento ao quadrado) resulta numa dimensão com L^{-1}.

Passo 11

Resumindo a classificação (não é a lista final compacta pedida, mas já demonstradas as derivações): massa, comprimento, tempo e temperatura são primárias; velocidade, força e pressão são derivadas (secundárias), com as fórmulas dimensionais e unidades mostradas nos passos anteriores.

Resposta

Dimensões Primárias: massa — [{\rm massa}]=M, unidade SI \mathrm{kg}
Dimensões Primárias: comprimento — [{\rm comprimento}]=L, unidade SI \mathrm{m}
Dimensões Primárias: tempo — [{\rm tempo}]=T, unidade SI \mathrm{s}
Dimensões Primárias: temperatura — [{\rm temperatura}]=\Theta, unidade SI \mathrm{K}
Dimensões Secundárias: velocidade — [v]=L\,T^{-1}, unidade SI \mathrm{m\;s^{-1}}
Dimensões Secundárias: força — [F]=M\,L\,T^{-2}, unidade SI \mathrm{N}=\mathrm{kg\;m\;s^{-2}}
Dimensões Secundárias: pressão — [p]=M\,L^{-1}\,T^{-2}, unidade SI \mathrm{Pa}=\mathrm{kg\;m^{-1}\;s^{-2}}

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