Uma refinaria produz três tipos de gasolina: comum, verde e amarela. Cada tipo de gasolina pode ser produzida a partir da mistura de quatro tipos de petróleo: petróleo 1, petróleo 2, petróleo 3 e petróleo 4.
Cada tipo de gasolina requer determinadas especificações de octano e benzeno:
  • um litro de gasolina comum requer, no mínimo, 0,20 litro de octano e 0,18 litro de benzeno;
  • um litro de gasolina verde requer, no mínimo, 0,25 litro de octano e 0,20 litro de benzeno;
  • um litro de gasolina amarela requer, no mínimo, 0,30 litro de octano e 0,22 litro de benzeno.
    As composições de octano e benzeno, para cada tipo de petróleo, são:
  • um litro de petróleo 1 contém uma taxa de 0,20 de octano e 0,25 de benzeno;
  • um litro de petróleo 2 contém uma taxa de 0,30 de octano e 0,20 de benzeno;
  • um litro de petróleo 3 contém uma taxa de 0,15 de octano e 0,30 de benzeno;
  • um litro de petróleo 4 contém uma taxa de 0,40 de octano e 0,15 de benzeno.
    Devido a contratos já assinados, a refinaria precisa produzir, diariamente, 12.000 litros de gasolina comum, 10.000 litros de gasolina verde e 8.000 litros de gasolina amarela. A refinaria tem uma
    capacidade máxima de produção de até 60.000 litros por dia de gasolina e pode comprar até 15.000 litros de cada tipo de petróleo diariamente.
    Cada litro de gasolina comum, verde e amarela dá uma margem de contribuição unitária de $0,40, $0,45 e 0,40, , respectivamente. Os preços de compra por litro de petróleo 1 , petróleo 2, petróleo 3 e petróleo 4 são, respectivamente, e , respectivamente Os preços de compra por litro de petró<=o 1 , petró<=o 2, petró<=o 3 e petró<=o 4 são, respectivamente, . Formular o problema de programação linear de forma a maximizar a margem diária de contribuição.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um problema de Programação Linear (PL). O que é PL? É uma técnica pra otimizar (maximizar ou minimizar) uma função linear (objetivo) sujeita a um monte de restrições lineares.
No nosso caso, a refinaria quer maximizar a margem diária de contribuição com três tipos de gasolina. Pra isso, precisamos:
  1. Definir variáveis que digam “quantos litros de cada petróleo entram em cada gasolina”.
  2. Montar a função objetivo (lucro) em função dessas variáveis.
  3. Montar as restrições de quantidade, qualidade (octano/benzeno) e capacidade.

Passo 2

Variáveis:
Seja
= litros do petróleo usados para produzir a gasolina , onde
são os petróleos 1,2,3,4;
= gasolina comum, = verde, = amarela.
Assim, por exemplo, é quantos litros do petróleo 2 entraram na gasolina amarela.

Passo 3

Função objetivo (maximizar margem):
A margem total é
sumj=1^3 l(mar>=mj times sumi=1^4 xijr) ;-;sumi=1^4l(custopetitimes sumj=1^3 xijr)
Substituindo margens e custos:
• margens: 0,40 (comum), 0,45 (verde), 0,50 (amarela).
• custos dos petróleos: 0,20, 0,25, 0,30, 0,30.
Então:
max; Z ;=; 0,40l(sumi xi1r) +0,45l(sumi xi2r) +0,50l(sumi xi3r) - l[ 0,20l(sumj x1jr) +0,25l(sumj x2jr) +0,30l(sumj x3jr) +0,30l(sumj x4jr) r]

Passo 4

Restrições:
  1. Produção fixa (contratos):
sumi=1^4 xi1 = 12,000, sumi=1^4 xi2 = 10,000, sumi=1^4 xi3 = 8,000
  1. Qualidade de octano (média ponderada ≥ exigida):
    Para j=1 (comum, req 0,20):
    ,
    j=2 (verde, req 0,25):
    ,
    j=3 (amarela, req 0,30):
    ,
    onde .
  2. Qualidade de benzeno (média ≥ exigida):
    Para j=1 (comum, req 0,18):
    ,
    j=2 (verde, req 0,20):
    ,
    j=3 (amarela, req 0,22):
    ,
    onde .
  3. Capacidade de estrada de petróleo:
    para cada .
  4. Capacidade total de produção:
  5. Não negatividade:
    para todo .

Resposta

Formulação final do PL:
Maximizar
Z = 0,40sumi=1^4 xi1 +0,45sumi=1^4 xi2 +0,50sumi=1^4 xi3 -sumi=1^4 cisumj=1^3 xij,
onde ,
sujeito a
  1. .

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