Uma refinaria produz três tipos de gasolina: comum, verde e amarela. Cada tipo de gasolina pode ser produzida a partir da mistura de quatro tipos de petróleo: petróleo 1, petróleo 2, petróleo 3 e petróleo 4.
Cada tipo de gasolina requer determinadas especificações de octano e benzeno:
- um litro de gasolina comum requer, no mínimo, 0,20 litro de octano e 0,18 litro de benzeno;
- um litro de gasolina verde requer, no mínimo, 0,25 litro de octano e 0,20 litro de benzeno;
- um litro de gasolina amarela requer, no mínimo, 0,30 litro de octano e 0,22 litro de benzeno.
As composições de octano e benzeno, para cada tipo de petróleo, são:
- um litro de petróleo 1 contém uma taxa de 0,20 de octano e 0,25 de benzeno;
- um litro de petróleo 2 contém uma taxa de 0,30 de octano e 0,20 de benzeno;
- um litro de petróleo 3 contém uma taxa de 0,15 de octano e 0,30 de benzeno;
- um litro de petróleo 4 contém uma taxa de 0,40 de octano e 0,15 de benzeno.
Devido a contratos já assinados, a refinaria precisa produzir, diariamente, 12.000 litros de gasolina comum, 10.000 litros de gasolina verde e 8.000 litros de gasolina amarela. A refinaria tem uma
capacidade máxima de produção de até 60.000 litros por dia de gasolina e pode comprar até 15.000 litros de cada tipo de petróleo diariamente.
Cada litro de gasolina comum, verde e amarela dá uma margem de contribuição unitária de $0,40, $0,45 e
, respectivamente. Os preços de compra por litro de petróleo 1 , petróleo 2, petróleo 3 e petróleo 4 são, respectivamente,
e
. Formular o problema de programação linear de forma a maximizar a margem diária de contribuição.
Cada tipo de gasolina requer determinadas especificações de octano e benzeno:
As composições de octano e benzeno, para cada tipo de petróleo, são:
Devido a contratos já assinados, a refinaria precisa produzir, diariamente, 12.000 litros de gasolina comum, 10.000 litros de gasolina verde e 8.000 litros de gasolina amarela. A refinaria tem uma
capacidade máxima de produção de até 60.000 litros por dia de gasolina e pode comprar até 15.000 litros de cada tipo de petróleo diariamente.
Cada litro de gasolina comum, verde e amarela dá uma margem de contribuição unitária de $0,40, $0,45 e
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um problema de Programação Linear (PL). O que é PL? É uma técnica pra otimizar (maximizar ou minimizar) uma função linear (objetivo) sujeita a um monte de restrições lineares.
No nosso caso, a refinaria quer maximizar a margem diária de contribuição com três tipos de gasolina. Pra isso, precisamos:
No nosso caso, a refinaria quer maximizar a margem diária de contribuição com três tipos de gasolina. Pra isso, precisamos:
- Definir variáveis que digam “quantos litros de cada petróleo entram em cada gasolina”.
- Montar a função objetivo (lucro) em função dessas variáveis.
- Montar as restrições de quantidade, qualidade (octano/benzeno) e capacidade.
Passo 2
Variáveis:
Seja
= litros do petróleo
usados para produzir a gasolina
, onde
• são os petróleos 1,2,3,4;
• = gasolina comum,
= verde,
= amarela.
Seja
•
•
Assim, por exemplo,
é quantos litros do petróleo 2 entraram na gasolina amarela.
Passo 3
Função objetivo (maximizar margem):
A margem total é
A margem total é
Substituindo margens e custos:
• margens: 0,40 (comum), 0,45 (verde), 0,50 (amarela).
• custos dos petróleos: 0,20, 0,25, 0,30, 0,30.
Então:
• margens: 0,40 (comum), 0,45 (verde), 0,50 (amarela).
• custos dos petróleos: 0,20, 0,25, 0,30, 0,30.
Então:
Passo 4
Restrições:
- Produção fixa (contratos):
-
Qualidade de octano (média ponderada ≥ exigida):
Para j=1 (comum, req 0,20):
,
j=2 (verde, req 0,25):
,
j=3 (amarela, req 0,30):
,
onde. -
Qualidade de benzeno (média ≥ exigida):
Para j=1 (comum, req 0,18):
,
j=2 (verde, req 0,20):
,
j=3 (amarela, req 0,22):
,
onde. -
Capacidade de estrada de petróleo:
para cada . -
Capacidade total de produção:
-
Não negatividade:
para todo .
Resposta
Formulação final do PL:
Maximizar
onde
,
sujeito a
-
-
-
-
-
-
.