A empresa Araguaia, do setor de bebidas, está revendo seu mix de produção de cervejas e refrigerantes. A produção de cerveja passa pelos seguintes processos: extração do malte (pode ou não ser fabricado internamente), processamento do mosto que dá origem ao álcool, fermentação (principal etapa), processamento da cerveja e enchimento dos vazilhames (envase). A produção de refrigerantes passa pelos seguintes processos: preparo do xarope simples, preparo do xarope composto, diluição, carbonatação e envase. Cada uma das etapas de processamento da cerveja e do refrigerante é 100 % automatizada. Os tempos médios de operação (em minutos) de cada componente da cerveja encontramse na Tabela abaixo, além do total de máquinas disponíveis para cada atividade.
Setor Tempo de operação <br> (minutos) Quantidade de <br> máquinas
Extração do malte 2 6
Processamento do mosto 4 12
Fermentação 3 10
Processamento da cerveja 4 12
Envase da cerveja 5 13
Os mesmos dados referentes ao processamento do refrigerante encontram-se na Tabela a seguir. É importante mencionar que cada máquina trabalha oito horas por dia, 20 dias úteis por mês. Em função da concorrência de mercado, pode-se afirmar que a demanda total por cerveja e refrigerante não ultrapassa 42 mil litros por mês. A margem de contribuição é R por litro produzido de cerveja e R$0,40 por litro produzido de refrigerante. Formule o problema de programação linear que maximiza a margem mensal de contribuição total.
Setor Tempo de operação <br> (minutos) Quantidade de <br> máquinas
Xarope simples 1 6
Xarope composto 3 7
Diluição 4 8
Carbonatação 5 10
Envase do refrigerante 2 5

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente monte um modelo de Programação Linear (PL) pra maximizar a margem de contribuição mensal da empresa Araguaia, escolhendo quantos litros de cerveja (x) e de refrigerante (y) produzir. Vamos precisar:
  • Definir variáveis de decisão;
  • Escrever a função objetivo (margem total 0,5 x + 0,4 y);
  • Colocar as restrições de capacidade de máquina (tempo por litro × litros ≤ tempo disponível);
  • Colocar a restrição de demanda (x + y ≤ 42000);
  • Não esquecer de x, y ≥ 0.

Passo 2

Definindo as variáveis:
x = litros de cerveja produzidos por mês
y = litros de refrigerante produzidos por mês
Essa parte é fundamental: em PL toda decisão vira uma variável.

Passo 3

Função objetivo (o que queremos maximizar):
Z = 0{,}50·x + 0{,}40·y
Aqui usamos que cada litro de cerveja traz R$ 0,50 e cada litro de refrigerante traz R$ 0,40.

Passo 4

Restrições de capacidade das etapas de cerveja. Cada máquina trabalha 8 h/dia × 20 dias × 60 min = 9600 min/mês. Se há m máquinas, o total é 9600·m minutos. Como cada litro de cerveja gasta t minutos em cada etapa, temos:
Extração do malte (t=2, m=6):

Processamento do mosto (t=4, m=12):

Fermentação (t=3, m=10):

Processamento da cerveja (t=4, m=12):

Envase da cerveja (t=5, m=13):
Na teoria de PL, cada restrição garante que a produção não exagere o tempo disponível.

Passo 5

Restrições de capacidade das etapas de refrigerante (mesma lógica):
Xarope simples (t=1, m=6):

Xarope composto (t=3, m=7):

Diluição (t=4, m=8):

Carbonatação (t=5, m=10):

Envase do refrigerante (t=2, m=5):

Passo 6

Restrição de demanda total:
Isso é só dizer que a soma dos litros não pode passar da demanda máxima.

Passo 7

Não negatividade (princípio básico de PL):

Resposta

Modelo de Programação Linear:
Maximizar
Z = 0,50,x + 0,40,y
sujeito a
2x ;<=; 6cdot9600 4x ;<=; 12cdot9600 3x ;<=; 10cdot9600 4x ;<=; 12cdot9600 5x ;<=; 13cdot9600 1y ;<=; 6cdot9600 3y ;<=; 7cdot9600 4y ;<=; 8cdot9600 5y ;<=; 10cdot9600 2y ;<=; 5cdot9600 x + y ;<=; 42000 x,,y ;>=; 0

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