A empresa Araguaia, do setor de bebidas, está revendo seu mix de produção de cervejas e refrigerantes. A produção de cerveja passa pelos seguintes processos: extração do malte (pode ou não ser fabricado internamente), processamento do mosto que dá origem ao álcool, fermentação (principal etapa), processamento da cerveja e enchimento dos vazilhames (envase). A produção de refrigerantes passa pelos seguintes processos: preparo do xarope simples, preparo do xarope composto, diluição, carbonatação e envase. Cada uma das etapas de processamento da cerveja e do refrigerante é
automatizada. Os tempos médios de operação (em minutos) de cada componente da cerveja encontramse na Tabela abaixo, além do total de máquinas disponíveis para cada atividade.
Setor | Tempo de operação <br> (minutos) | Quantidade de <br> máquinas |
---|---|---|
Extração do malte | 2 | 6 |
Processamento do mosto | 4 | 12 |
Fermentação | 3 | 10 |
Processamento da cerveja | 4 | 12 |
Envase da cerveja | 5 | 13 |
Os mesmos dados referentes ao processamento do refrigerante encontram-se na Tabela a seguir. É importante mencionar que cada máquina trabalha oito horas por dia, 20 dias úteis por mês. Em função da concorrência de mercado, pode-se afirmar que a demanda total por cerveja e refrigerante não ultrapassa 42 mil litros por mês. A margem de contribuição é R
por litro produzido de cerveja e R$0,40 por litro produzido de refrigerante. Formule o problema de programação linear que maximiza a margem mensal de contribuição total.
Setor | Tempo de operação <br> (minutos) | Quantidade de <br> máquinas |
---|---|---|
Xarope simples | 1 | 6 |
Xarope composto | 3 | 7 |
Diluição | 4 | 8 |
Carbonatação | 5 | 10 |
Envase do refrigerante | 2 | 5 |
Passo 1
Beleza, o enunciado quer que a gente monte um modelo de Programação Linear (PL) pra maximizar a margem de contribuição mensal da empresa Araguaia, escolhendo quantos litros de cerveja (x) e de refrigerante (y) produzir. Vamos precisar:
- Definir variáveis de decisão;
- Escrever a função objetivo (margem total 0,5 x + 0,4 y);
- Colocar as restrições de capacidade de máquina (tempo por litro × litros ≤ tempo disponível);
- Colocar a restrição de demanda (x + y ≤ 42000);
- Não esquecer de x, y ≥ 0.
Passo 2
Definindo as variáveis:
x = litros de cerveja produzidos por mês
y = litros de refrigerante produzidos por mês
x = litros de cerveja produzidos por mês
y = litros de refrigerante produzidos por mês
Essa parte é fundamental: em PL toda decisão vira uma variável.
Passo 3
Função objetivo (o que queremos maximizar):
Z = 0{,}50·x + 0{,}40·y
Z = 0{,}50·x + 0{,}40·y
Aqui usamos que cada litro de cerveja traz R$ 0,50 e cada litro de refrigerante traz R$ 0,40.
Passo 4
Restrições de capacidade das etapas de cerveja. Cada máquina trabalha 8 h/dia × 20 dias × 60 min = 9600 min/mês. Se há m máquinas, o total é 9600·m minutos. Como cada litro de cerveja gasta t minutos em cada etapa, temos:
Extração do malte (t=2, m=6):
Processamento do mosto (t=4, m=12):
Fermentação (t=3, m=10):
Processamento da cerveja (t=4, m=12):
Envase da cerveja (t=5, m=13):
Extração do malte (t=2, m=6):
Processamento do mosto (t=4, m=12):
Fermentação (t=3, m=10):
Processamento da cerveja (t=4, m=12):
Envase da cerveja (t=5, m=13):
Na teoria de PL, cada restrição garante que a produção não exagere o tempo disponível.
Passo 5
Restrições de capacidade das etapas de refrigerante (mesma lógica):
Xarope simples (t=1, m=6):
Xarope composto (t=3, m=7):
Diluição (t=4, m=8):
Carbonatação (t=5, m=10):
Envase do refrigerante (t=2, m=5):
Xarope simples (t=1, m=6):
Xarope composto (t=3, m=7):
Diluição (t=4, m=8):
Carbonatação (t=5, m=10):
Envase do refrigerante (t=2, m=5):
Passo 6
Restrição de demanda total:
Isso é só dizer que a soma dos litros não pode passar da demanda máxima.
Passo 7
Não negatividade (princípio básico de PL):
Resposta
Modelo de Programação Linear:
Maximizar
sujeito a