A empresa americana SOTREQ do setor mineração lançará três novos modelos de caminhões no próximo ano: modelo Arlington, modelo Marilandy e modelo Gristedes. A produção de cada um dos modelos passa pelos seguintes processos: injeção, fundição, usinagem, estamparia e acabamento. Os tempos médios de operação (minutos) de uma unidade de cada componente encontramse na Tabela abaixo.
Setor | Total Médio de operação (minutos) | |||
---|---|---|---|---|
Arlington | Marilandy | Gristedes | Máquinas <br> disponíveis | |
Injeção | 3 | 4 | 3 | 6 |
Fundição | 5 | 5 | 4 | 8 |
Usinagem | 2 | 4 | 4 | 5 |
Estamparia | 4 | 5 | 5 | 8 |
Acabamento | 2 | 3 | 3 | 5 |
Cada uma das operações é 100% automatizada. A quantidade de máquinas disponíveis para cada setor também se encontra na mesma tabela. É importante mencionar que cada máquina trabalha 16 horas por dia, de segunda a sexta-feira. O lucro unitário, além do potencial mínimo de vendas por semana, de cada modelo de caminhão, de acordo o setor comercial, está especificado na Tabela a seguir. Supondo que
dos modelos serão vendidos, formule o problema de programação linear inteira que busca determinar as quantidades de automóveis de cada modelo a serem fabricados, a fim de maximizar o lucro líquido semanal.
Modelos | Lucro unitário <br> (U$) | Potencial <br> mín. vendas <br> (unidades/ <br> semana) |
---|---|---|
Arlington | 2.500 | 50 |
Marilandy | 3.000 | 30 |
Gristedes | 2.800 | 30 |
Passo 1
Beleza, então o enunciado manda a gente achar quantos caminhões de cada modelo (Arlington, Marilandy e Gristedes) produzir por semana para maximizar o lucro. A gente tem:
• Tempos de máquina (min/unid) em 5 setores (injeção, fundição, usinagem, estamparia, acabamento).
• Número de máquinas em cada setor, trabalhando 16 h/dia × 5 dias = 80 h/semana (ou 4 800 min/semana por máquina).
• Lucro unitário de cada modelo e um mínimo de vendas garantido por semana.
• Tempos de máquina (min/unid) em 5 setores (injeção, fundição, usinagem, estamparia, acabamento).
• Número de máquinas em cada setor, trabalhando 16 h/dia × 5 dias = 80 h/semana (ou 4 800 min/semana por máquina).
• Lucro unitário de cada modelo e um mínimo de vendas garantido por semana.
O conteúdo aqui é Programação Linear Inteira: a gente vai definir variáveis inteiras (nº de caminhões), escrever uma função objetivo (maximizar lucro) e montar restrições de capacidade de máquina e de demanda mínima.
Passo 2
Definindo variáveis e objetivo
– Vamos chamar
– Vamos chamar
A função objetivo é o lucro total semanal:
Aqui a teoria diz que a gente cria uma combinação linear dos lucros unitários, multiplicada pelas quantidades.
Passo 3
Montando as restrições de capacidade
Para cada setor, tempo total gasto não pode exceder o tempo disponível das máquinas. Cada máquina tem 4 800 min/semana. Exemplo em injeção:
– Tempo por unidade: minutos.
– Disponível: máquinas ×
min =
min.
Então:
Para cada setor, tempo total gasto não pode exceder o tempo disponível das máquinas. Cada máquina tem 4 800 min/semana. Exemplo em injeção:
– Tempo por unidade:
– Disponível:
Então:
Repetindo para cada setor:
Fundição ( máquinas):
Fundição (
Usinagem (
máquinas):
Estamparia (
máquinas):
Acabamento (
máquinas):
Isso é Aplicação de restrições de recursos em PL: cada soma ponderada pelas horas/unit não ultrapassa o total disponível.
Passo 4
Restrições de demanda mínima e integridade
Tem ainda a condição de vender pelo menos:
Tem ainda a condição de vender pelo menos:
E por ser inteira:
Na teoria de PL inteira, a gente força as variáveis a serem inteiras e não-negativas.
Resposta
Modelo de Programação Linear Inteira: