A empresa americana SOTREQ do setor mineração lançará três novos modelos de caminhões no próximo ano: modelo Arlington, modelo Marilandy e modelo Gristedes. A produção de cada um dos modelos passa pelos seguintes processos: injeção, fundição, usinagem, estamparia e acabamento. Os tempos médios de operação (minutos) de uma unidade de cada componente encontramse na Tabela abaixo.
Setor Total Médio de operação (minutos)
Arlington Marilandy Gristedes Máquinas <br> disponíveis
Injeção 3 4 3 6
Fundição 5 5 4 8
Usinagem 2 4 4 5
Estamparia 4 5 5 8
Acabamento 2 3 3 5
Cada uma das operações é 100% automatizada. A quantidade de máquinas disponíveis para cada setor também se encontra na mesma tabela. É importante mencionar que cada máquina trabalha 16 horas por dia, de segunda a sexta-feira. O lucro unitário, além do potencial mínimo de vendas por semana, de cada modelo de caminhão, de acordo o setor comercial, está especificado na Tabela a seguir. Supondo que 100 % dos modelos serão vendidos, formule o problema de programação linear inteira que busca determinar as quantidades de automóveis de cada modelo a serem fabricados, a fim de maximizar o lucro líquido semanal.
Modelos Lucro unitário <br> (U$) Potencial <br> mín. vendas <br> (unidades/ <br> semana)
Arlington 2.500 50
Marilandy 3.000 30
Gristedes 2.800 30

Passo 1

Beleza, então o enunciado manda a gente achar quantos caminhões de cada modelo (Arlington, Marilandy e Gristedes) produzir por semana para maximizar o lucro. A gente tem:
• Tempos de máquina (min/unid) em 5 setores (injeção, fundição, usinagem, estamparia, acabamento).
• Número de máquinas em cada setor, trabalhando 16 h/dia × 5 dias = 80 h/semana (ou 4 800 min/semana por máquina).
• Lucro unitário de cada modelo e um mínimo de vendas garantido por semana.
O conteúdo aqui é Programação Linear Inteira: a gente vai definir variáveis inteiras (nº de caminhões), escrever uma função objetivo (maximizar lucro) e montar restrições de capacidade de máquina e de demanda mínima.

Passo 2

Definindo variáveis e objetivo
– Vamos chamar
x1 = nº de Arlin>on/semana, x2 = nº de Marilandy/semana, x3 = nº de Gristedes/semana ººº
A função objetivo é o lucro total semanal:
max; Z = 2500,x1 + 3000,x2 + 2800,x3
Aqui a teoria diz que a gente cria uma combinação linear dos lucros unitários, multiplicada pelas quantidades.

Passo 3

Montando as restrições de capacidade
Para cada setor, tempo total gasto não pode exceder o tempo disponível das máquinas. Cada máquina tem 4 800 min/semana. Exemplo em injeção:
– Tempo por unidade: 3x1 + 4x2 + 3x3 ;<=; 6 times 4800 = 28800 minutos.
– Disponível: 5x1 + 5x2 + 4x3 ;<=; 8 times 4800 = 38400 máquinas × 2x1 + 4x2 + 4x3 ;<=; 5 times 4800 = 24000 min = 4x1 + 5x2 + 5x3 ;<=; 8 times 4800 = 38400 min.
Então:
2x1 + 3x2 + 3x3 ;<=; 5 times 4800 = 24000
Repetindo para cada setor:
Fundição ( máquinas):
Usinagem ( máquinas):
Estamparia ( máquinas):
Acabamento ( máquinas):
Isso é Aplicação de restrições de recursos em PL: cada soma ponderada pelas horas/unit não ultrapassa o total disponível.

Passo 4

Restrições de demanda mínima e integridade
Tem ainda a condição de vender pelo menos:
x1 >= 50, x2 >= 30, x3 >= 30
E por ser inteira:
x1,;x2,;x3 in Z>=0
Na teoria de PL inteira, a gente força as variáveis a serem inteiras e não-negativas.

Resposta

Modelo de Programação Linear Inteira:
max & Z = 2500,x1 + 3000,x2 + 2800,x3,[6pt] st &3x1 + 4x2 + 3x3 ;<=; 28800, &5x1 + 5x2 + 4x3 ;<=; 38400, &2x1 + 4x2 + 4x3 ;<=; 24000, &4x1 + 5x2 + 5x3 ;<=; 38400, &2x1 + 3x2 + 3x3 ;<=; 24000, &x1 >= 50, x2 >= 30, x3 >= 30, &x1,,x2,,x3 in Z>=0

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