Refine a raiz em cada caso abaixo utilizando o método da posição falsa:
b) 
  onde 
  e 
 
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a raiz da função 
  no intervalo 
  usando o método da posição falsa, também conhecido como método de regula falsi. Para isso, vamos precisar entender como funciona esse método e aplicar alguns passos de cálculo até chegar na resposta com uma precisão de 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma raiz de uma função. A raiz de 
  é o valor de 
  que faz 
 . Ou seja, queremos encontrar 
  tal que:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o método da posição falsa. Esse método é usado para encontrar raízes de funções que mudam de sinal em um intervalo 
 . A ideia é usar uma linha reta para aproximar a função e encontrar onde essa linha cruza o eixo 
 , esse ponto é a nova aproximação da raiz.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar se há uma mudança de sinal no intervalo 
 . Calculamos 
  e 
 :
Como 
 , sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula do método da posição falsa para encontrar uma nova aproximação 
 :
Onde:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, calculamos 
 :
Como 
 , a raiz está entre 
  e 
 . Então, atualizamos 
  para 
 .
Passo 7
Repetimos o processo com o novo intervalo 
 .
Calculamos 
 :
Calculamos 
 :
Agora, 
 . Atualizamos 
  para 
 .
Passo 8
Continuamos o processo até que a diferença entre 
  e 
  seja menor que 
 .
Após algumas iterações, chegamos em um valor aproximado de 
  que satisfaz 
 . Por exemplo:
Resposta
A raiz aproximada da função 
  no intervalo 
  utilizando o método da posição falsa é 
 .