4. Retorno ao exercício 2 usando transformadas de Fourier
[Fundamental]
(a) Escreva a equação de autovalores de
e a transformada de Fourier dessa equação. Deduzir diretamente a expressão de
, a transformada de Fourier de
, em termos de
e
.
Mostre que apenas um valor de
, negativo, é possível. Apenas o estado ligado da partícula, e não os estados propagantes, é obtido por esse método; explique por quê.
Em seguida, calcule
e mostre que todos os resultados do exercício 2 podem ser recuperados dessa forma.
(b) A energia cinética média da partícula pode ser escrita (cf. Capítulo III):
Mostre que, quando
é uma função suficientemente suave, temos também
Aplique essas fórmulas ao estado ligado obtido em (a). Note que, nesse caso,
não é regular em
e deve ser diferenciada no sentido das distribuições.
Interprete fisicamente a contribuição proveniente de
, considerando um poço quadrado de largura
e profundidade
e
.
(a) Escreva a equação de autovalores de
Mostre que apenas um valor de
Em seguida, calcule
(b) A energia cinética média da partícula pode ser escrita (cf. Capítulo III):
Interprete fisicamente a contribuição proveniente de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais:
-
(a) Partindo da equação de autovalores de
para o potencial delta em (ou seja, com ), tomar a transformada de Fourier da equação, obter explicitamente em função de e , mostrar que apenas um valor de negativo é possível e que este método captura apenas o estado ligado; em seguida calcular a partir de e recuperar os resultados do exercício 2 (energia, constante de decaimento, normalização, forma da função de onda). -
(b) Mostrar a igualdadequando
é suficientemente suave; aplicar essas fórmulas ao estado ligado obtido em (a). Observar que tem descontinuidade na derivada em e interpretar fisicamente a contribuição de fazendo a conexão com o limite de um poço quadrado de largura e profundidade tal que com .
Informações dadas/assumidas (retiradas do enunciado e do contexto do problema 2):
- Hamiltoniano
- Definição da transformada de Fourier (escolha convencional de Física):
Passo 2
Escrevendo a equação de autovalores no espaço de posição. A equação
é
Aqui
deve ser uma função no espaço de Hilbert (ou distribuição quando necessário). Observação importante: a presença de
multiplica
avaliando-a em
.
Passo 3
Tomar a transformada de Fourier de cada termo da equação. Usar a propriedade padrão:
-
. -
porque .
Aplicando a transformada à equação:
Simplificando o primeiro termo obtemos
Passo 4
Resolver algebricamente para
. Reorganizando:
Logo
Isto é a expressão pedida:
em termos de
e
.
Comentário didático: a transformada transformou a equação diferencial com uma perturbação localizada em uma equação algébrica para
. Ainda falta determinar
e
(ou sua relação), que virão da condição de auto-consistência obtida pela inversa da transformada.
Passo 5
Procurar estados ligados (normais,
). Para
escrevemos
Então
e
Para
a denominação tem zeros reais
, levando a singularidades sobre o eixo real em
e a funções não quadrado-integráveis (ou a distribuições que correspondem a estados espalhantes). Por isso, buscando funções
o caso
é o que produz
decaindo como
para grande
(portanto quadrado-integrável). Conclusão: somente estados ligados normais são obtidos diretamente com essa abordagem assumindo
.
Explicação intuitiva: os estados espalhantes correspondem à parte contínua do espectro; suas “transformadas” envolvem deltas ou funções não integráveis (picos em
) que representam ondas livres incidentes/saídas. O método algébrico acima pressupõe uma
finita e uma
integrável; para energia positiva isso não ocorre sem impor condições de contorno tipo ondas entrantes/saídas (Lippmann–Schwinger), portanto o procedimento direto captura apenas o estado ligado.
Passo 6
Impor a condição de consistência que determina
(ou
). Usar a inversa no ponto
:
Substituindo
(caso
):
Isolando e cancelando
(que para estado ligado não é zero) obtemos
Usar a integral conhecida
com
. Assim:
Portanto
Dessa expressão segue a energia do estado ligado:
Como a equação que determina
tem solução única positiva, existe exatamente um estado ligado.
Passo 7
Calcular
a partir de
. Usar a inversa:
Para calcular a integral, faça a mudança
. Então
onde se usou a integral conhecida
. Substituindo de volta:
Usando a relação obtida em Passo 6
obtemos
Para normalizar, imponha
:
pois
. Assim
Isto recupera exatamente o estado ligado conhecido do poço delta, com
e
conforme no Passo 6.
Passo 8
Comentário sobre por que estados propagantes (energia positiva) não surgem assim: para
a expressão obtida em Passo 4 possui polos reais em
, o que impede
de ser uma função quadrado-integrável regular — em vez disso se obtém distribuições que descrevem ondas livres mais condições de contorno (ondas entrantes/saídas). Para obter estados espalhantes é necessário tratar o problema com condições de contorno (por exemplo os estados de espalhamento normalizados por delta de Dirac) ou usar soluções de forma
com salto de fase; a técnica direta de transformar e inverter assumindo
só capta o único estado ligado.
Passo 9
Agora vamos provar a igualdade das expressões para
em termos de
e
(parte (b)). Começamos por
Usar a propriedade da transformada:
. Logo
Substituindo,
Aplicando o teorema de Parseval/Plancherel (a transformada unitária preserva produto escalar), temos
Escolhendo
e
obtemos
Isto demonstra a igualdade pretendida, sob a condição técnica de suavidade/decay que permite trocar integrais e aplicar Parseval.
Passo 10
Aplicar as duas fórmulas ao estado ligado encontrado: primeiro pela fórmula no espaço de momento, usando
Calcular
Usar a integral conhecida
com
. Substituindo e simplificando (ver contas no Passo 11) obtém-se
Pela energia total
e potencial
temos
Como
obtemos
, consistente com o cálculo direto por momento.
Passo 11
Fazer explicitamente a integral de
por momento para verificar os fatores:
Usando
e
obtém-se
Tudo consistente.
Passo 12
Calcular
pela fórmula em espaço de posição, tendo em conta a derivação no sentido das distribuições. Para
já vimos que
onde
é a função sinal, e derivando novamente em sentido de distribuições obtemos
Agora
Portanto
usando
. Mesmo resultado, mostrando que a derivação no sentido das distribuições produz a contribuição localizada em
necessária para obter o valor correto de
.
Passo 13
Interpretação física da contribuição de
. Considere um poço quadrado de largura
e profundidade
(negativa):
para
e
fora, e faça o limite
,
mantendo
. No poço finito a função de onda interna tem curvatura grande quando
é grande; isso gera uma contribuição positiva grande para a energia cinética concentrada na pequena região
. No limite, essa contribuição positiva localizada converte-se na contribuição de distribuição (termo com
em
). Ao mesmo tempo, a energia potencial média
torna-se uma contribuição negativa localizada proporcional a
. O balanço entre a grande energia cinética concentrada e o grande potencial negativo dá um valor finito para a energia total
; esse mecanismo é justamente o que a modelagem por
resume: um poço muito profundo e estreito cujo efeito global é caracterizado por
. Portanto a contribuição de
na integral do tipo
é o resíduo no limite do aumento da curvatura da função de onda dentro do poço, e é essencial para obter o valor correto de
.