Um refrigerador opera em um ciclo de refrigeração ideal e mantém uma câmara fria a uma temperatura de Tf=-5^circ C, rejeitando calor para um ambiente a Ta=25^circ C. O ciclo opera com um fluido refrigerante ideal e pode ser aproximado por um ciclo de Carnot reversível.
A taxa de transferência de calor para o ambiente externo é de dotQa=3.5 kW.
Sabemos que a eficiência de um refrigerador é medida pelo Coeficiente de Performance (COP), definido como:
C O P=dotQfdotW
onde dotQf é a taxa de calor retirada da câmara fria e dotW é o trabalho líquido necessário para operar o ciclo. Para um ciclo de Carnot reversível, temos:
C O Pr e f=TfTa-Tf
onde as temperaturas devem estar em Kelvin.
A potência elétrica fornecida ao compressor do refrigerador varia ao longo do tempo de acordo com a função
P(t)=P0 e^-k t
onde P0=1.5 kW e k=0.1 s^-1. Suponha que o ciclo de operação dure 1 minuto. Determine o trabalho total W realizado pelo compressor nesse intervalo de tempo resolvendo a integral:
W=integral0^60 P(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede e o que a gente vai precisar.
Enunciado em miúdos: o compressor do refrigerador recebe potência elétrica que muda com o tempo conforme
P(t)=P0e^-kt,, P0=1,5 kW, k=0,1 s^-1,
O ciclo dura 60 s e a gente quer achar o trabalho total
W=integral0^60P(t),dt,
Matéria envolvida: integração de função exponencial. Vamos precisar lembrar como integrar .

Passo 2

Teoria de integral de exponencial:
Para qualquer constante integral e^a t,dt = 1a,e^a t + C, ,

No nosso caso a constante é , pois .

Passo 3

Escrevendo a integral com o nosso W=integral0^60P0e^-k t,dt = P0integral0^60e^-k t,dt :
Puxamos para fora porque é constante.

Passo 4

Aplicando a fórmula da antiderivada:
integral e^-k t,dt = 1-k,e^-k t
Então
W = P0[1-ke^-k t]0^60 = -P0kl(e^-kcdot 60-e^-kcdot 0r)
Simplificando o sinal e sabendo que W = P0kl(1 - e^-kcdot 60r) :

Passo 5

Agora é só por números:
W = 1,50,1l(1 - e^-6r) =15;(1 - e^-6) kWcdot s , W = 15l(1 - e^-6r) kJ , .
Como , fica em :

Resposta

W = 15l(1 - e^-6r)approx 14,96 kJ

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