Uma região circular de raio
no plano
é atravessada por um campo magnético uniforme orientado no sentido positivo do eixo
. 0 modulo
do campo (em teslas) aumenta com o tempo
(em segundos) de acordo com a equação
, em que
é uma constante.
Determine o modulo do campo elétrico para qualquer ponto
, em função de
e a constante a.
Determine o modulo do campo elétrico para qualquer ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região circular de raio $ R $ no plano $ xy $ onde um campo magnético uniforme, que está na direção positiva do eixo $ z $, está aumentando com o tempo de acordo com a equação $ B = a t^{2} $. O que queremos descobrir é o módulo do campo elétrico $ E $ em qualquer ponto onde $ r > R $, ou seja, fora dessa região circular. Para isso, vamos precisar usar a lei de Faraday da indução eletromagnética e entender um pouco sobre circuitos fechados e campos elétricos induzidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que a lei de Faraday diz. Ela afirma que uma variação no fluxo magnético através de uma superfície fechada gera uma força eletromotriz (fem) nessa superfície. Matematicamente, isso é expresso por:
Aqui, $ \mathcal{E} $ é a fem induzida e $ \Phi_B $ é o fluxo magnético.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fluxo magnético $ \Phi_B $ através da região circular de raio $ R $. O fluxo magnético é dado por:
Onde $ A $ é a área da região circular. Como $ A = \pi R^{2} $, temos:
Passo 4
Sabemos que o campo magnético $ B $ está aumentando com o tempo segundo a equação $ B = a t^{2} $. Vamos substituir isso na expressão do fluxo magnético:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a taxa de variação do fluxo magnético em relação ao tempo para usar na lei de Faraday:
Passo 6
Aplicando a lei de Faraday, a fem induzida é:
O sinal negativo indica a direção da fem, mas como estamos interessados apenas no módulo, vamos ignorar o sinal:
Passo 7
Agora, vamos relacionar a fem induzida com o campo elétrico $ E $. Para isso, consideramos um caminho circular de raio $ r > R $ onde a fem também é dada por:
Aqui, $ 2 \pi r $ é o comprimento do caminho circular.
Passo 8
Igualando as duas expressões para $ \mathcal{E} $, temos:
Podemos simplificar cancelando $ 2 \pi $ dos dois lados:
Passo 9
Agora, isolamos $ E $ para encontrar o módulo do campo elétrico:
Resposta
O módulo do campo elétrico para qualquer ponto $ r > R $ é dado por: