Uma região circular de raio R no plano x y é atravessada por um campo magnético uniforme orientado no sentido positivo do eixo z. 0 modulo B do campo (em teslas) aumenta com o tempo t (em segundos) de acordo com a equação B=a t^2, em que a é uma constante.
Determine o modulo do campo elétrico para qualquer ponto r, em função de r, t e a constante a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o módulo do campo elétrico $ E $ em qualquer ponto dentro de uma região circular (ou seja, para $ r < R $), quando há um campo magnético $ B $ que está aumentando com o tempo segundo a equação $ B = a t^2 $. Vamos usar conceitos de Eletromagnetismo, mais precisamente a Lei de Faraday, que relaciona campos magnéticos em mudança com campos elétricos induzidos. Para resolver, vamos precisar entender como o fluxo magnético muda e como isso cria um campo elétrico circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Faraday, que diz que a força eletromotriz (fem) induzida em um circuito é igual à taxa de variação do fluxo magnético que passa por ele:
E = -dPhiBdt
Aqui, $ \mathcal{E} $ é a fem induzida e $ \Phi_B $ é o fluxo magnético.

Passo 3

Vamos definir um circuito imaginário circular de raio $ r $ dentro da região onde $ r < R $. Como o campo $ B $ é uniforme e perpendicular ao plano do círculo, o fluxo magnético $ \Phi_B $ que passa por esse círculo é:
r
Onde $ A = \pi r^2 $ é a área do círculo.

Passo 4

Agora, substituímos $ B = a t^2 $ na expressão do fluxo:
B = a t^2
Para encontrar a fem induzida, derivamos $ \Phi_B $ em relação ao tempo:
PhiB = a t^2 cdot pi r^2

Passo 5

Aplicamos a Lei de Faraday:
E = -dPhiBdt = -2 a t cdot pi r^2
O sinal negativo indica a direção da corrente induzida, mas como estamos interessados apenas no módulo do campo elétrico, podemos ignorar o sinal.

Passo 6

A fem também pode ser expressa em termos do campo elétrico $ E $ ao longo do percurso circular:
E
Igualando as duas expressões para $ \mathcal{E} $:
E = E cdot 2 pi r

Passo 7

Agora, resolvemos para $ E $:
E

Resposta

O módulo do campo elétrico para qualquer ponto $ r < R $ é dado por:
r < R

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