Uma região circular de raio
no plano
é atravessada por um campo magnético uniforme orientado no sentido positivo do eixo
. 0 modulo
do campo (em teslas) aumenta com o tempo
(em segundos) de acordo com a equação
, em que
é uma constante.
Determine o modulo do campo elétrico para qualquer ponto
, em função de
e a constante
.
Determine o modulo do campo elétrico para qualquer ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o módulo do campo elétrico $ E $ em qualquer ponto dentro de uma região circular (ou seja, para $ r < R $), quando há um campo magnético $ B $ que está aumentando com o tempo segundo a equação $ B = a t^2 $. Vamos usar conceitos de Eletromagnetismo, mais precisamente a Lei de Faraday, que relaciona campos magnéticos em mudança com campos elétricos induzidos. Para resolver, vamos precisar entender como o fluxo magnético muda e como isso cria um campo elétrico circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Faraday, que diz que a força eletromotriz (fem) induzida em um circuito é igual à taxa de variação do fluxo magnético que passa por ele:
Aqui, $ \mathcal{E} $ é a fem induzida e $ \Phi_B $ é o fluxo magnético.
Passo 3
Vamos definir um circuito imaginário circular de raio $ r $ dentro da região onde $ r < R $. Como o campo $ B $ é uniforme e perpendicular ao plano do círculo, o fluxo magnético $ \Phi_B $ que passa por esse círculo é:
Onde $ A = \pi r^2 $ é a área do círculo.
Passo 4
Agora, substituímos $ B = a t^2 $ na expressão do fluxo:
Para encontrar a fem induzida, derivamos $ \Phi_B $ em relação ao tempo:
Passo 5
Aplicamos a Lei de Faraday:
O sinal negativo indica a direção da corrente induzida, mas como estamos interessados apenas no módulo do campo elétrico, podemos ignorar o sinal.
Passo 6
A fem também pode ser expressa em termos do campo elétrico $ E $ ao longo do percurso circular:
Igualando as duas expressões para $ \mathcal{E} $:
Passo 7
Agora, resolvemos para $ E $:
Resposta
O módulo do campo elétrico para qualquer ponto $ r < R $ é dado por: