A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno de um eixo específico. Ache o volume do sólido resultante.
y=1 / x, y=0, x=1, x=3 ao redor da reta y=-1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por y = tfrac1x, y=0, x=1 e x=3 em torno da reta y=-1. Vamos usar o método dos anéis (washers), em que
V = pi integralx1^x2 l(R(x)^2 - r(x)^2r),dx

Passo 2

Precisamos identificar as duas “raias” de cada anel para um dado xin[1,3]:
  • A distância do eixo y=-1 até o ramo superior y=tfrac1x é
R(x) = tfrac1x - (-1) = 1 + tfrac1x
  • A distância do eixo até o ramo inferior y=0 é
r(x) = 0 - (-1) = 1

Passo 3

Substituindo em V=piintegral (R^2-r^2),dx, obtemos
V = pi integral1^3 l[l(1 + tfrac1xr)^2 - 1^2r],dx
Expandindo o integrando:
l(1 + tfrac1xr)^2 - 1 = 1 + tfrac2x + tfrac1x^2 - 1 = tfrac2x + tfrac1x^2

Passo 4

Calculando a integral:
V = pi integral1^3 l(tfrac2x + tfrac1x^2r),dx = pi l[2ln x - tfrac1xr]1^3 = pil((2ln3 - tfrac13) - (0 - 1)r) = pil(2ln3 + tfrac23r)

Resposta

V = pil(2ln3 + tfrac23r) ou V = 2pil(ln3 + tfrac13r)

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