Exercício 1 - Construir os gráficos das funções racionais. Dar o domínio e o conjunto imagem.
f(x)=1x

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da função racional
f(x)=1x
e determinar seu domínio e seu conjunto-imagem. Aqui o conteúdo é gráfico de função hiperbólica de equação y=1/x, com identificação de assíntotas e comportamento nos intervalos de definição.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio: a única restrição aparece quando o denominador se anula. Como x=0 anula o denominador, não podemos ter esse valor. Logo o domínio é
Rsetminus0

Passo 3

Em seguida, identificamos as assíntotas:
1. Assíntota vertical em x=0, pois f(x)topminfty quando xto0^pm.
2. Assíntota horizontal em y=0, pois limxtopminftyf(x)=0.

Passo 4

Vamos ver o comportamento em cada parte do domínio:
  • Para x>0, temos f(x)>0. Conforme x cresce, f(x) decresce de +infty (quando xto0^+) até 0 (quando xto+infty).
  • Para x<0, temos f(x)<0. Conforme x cresce (isto é, vai de valores muito negativos até 0^-), f(x) cresce de 0 (quando xto-infty) até -infty (quando xto0^-).
Isso gera duas “ramificações” de hipérbole, uma no primeiro quadrante e outra no terceiro quadrante, simétricas em relação à origem.

Passo 5

Agora determinamos o conjunto-imagem:
Como f(x) pode assumir todos os valores positivos (no ramo x>0) e todos os valores negativos (no ramo x<0), mas nunca atinge 0, temos
Im(f)=Rsetminus0

Resposta

Domínio:
Rsetminus0
Conjunto-imagem:
Rsetminus0
Gráfico: hipérbole com assíntotas em x=0 e y=0, ramificações no primeiro e no terceiro quadrantes.

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