Exercício 1 - Construir os gráficos das funções racionais. Dar o domínio e o conjunto imagem.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o gráfico da função racional
e determinar seu domínio e seu conjunto-imagem. Aqui o conteúdo é gráfico de função hiperbólica de equação
, com identificação de assíntotas e comportamento nos intervalos de definição.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio: a única restrição aparece quando o denominador se anula. Como
anula o denominador, não podemos ter esse valor. Logo o domínio é
Passo 3
Em seguida, identificamos as assíntotas:
. Assíntota vertical em
, pois
quando
.
. Assíntota horizontal em
, pois
.
Passo 4
Vamos ver o comportamento em cada parte do domínio:
- Para
, temos . Conforme cresce, decresce de (quando ) até (quando ). - Para
, temos . Conforme cresce (isto é, vai de valores muito negativos até ), cresce de (quando ) até (quando ).
Isso gera duas “ramificações” de hipérbole, uma no primeiro quadrante e outra no terceiro quadrante, simétricas em relação à origem.
Passo 5
Agora determinamos o conjunto-imagem:
Como pode assumir todos os valores positivos (no ramo
) e todos os valores negativos (no ramo
), mas nunca atinge
, temos
Como
Resposta
Domínio:
Conjunto-imagem:
Gráfico: hipérbole com assíntotas em
e
, ramificações no primeiro e no terceiro quadrantes.