(a) Em uma região do espaço, uma partícula de massa m possui uma função de onda dada por \psi(x)=A e^{-x^{2} / a^{2}} e uma energia dada por E=\hbar^{2} / m a^{2} onde a é um comprimento. Determine, como função de x, a energia potencial V(x) e a energia cinética K(x) da partícula. Faça gráficos de V(x) e K(x);
(b) Repita o item (a) para uma energia total nula.

Passo 1

O enunciado dá:
\psi(x)=A e^{-x^{2}/a^{2}}
e, no item (a), a energia total
E=\frac{\hbar^{2}}{m a^{2}}.
Pede-se, como função de x, a energia potencial V(x) e a energia cinética K(x) da partícula e fazer gráficos qualitativos de V(x) e K(x). No item (b) repetir para a energia total nula ( E=0).\n
Informações relevantes listadas:
  • Função de onda conhecida \psi(x) (Gaussiana) — constante de normalização A não especificada.
  • No (a) a energia total é \displaystyle E=\frac{\hbar^{2}}{m a^{2}}.
  • No (b) a energia total é \displaystyle E=0.
  • A equação que relaciona \psi, V e E é a equação de Schrödinger estacionária (isso será usado no Passo 2).

Passo 2

Vamos escrever a equação de Schrödinger unidimensional estacionária e definir a energia cinética local que vamos usar. A equação é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\psi''(x)+V(x)\,\psi(x)=E\,\psi(x).
Dessa equação podemos isolar V(x):
V(x)=E+\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{\psi''(x)}{\psi(x)}.
A energia cinética “local” (o valor de energia cinética associado à função de onda em cada ponto, obtido formalmente aplicando o operador cinético e dividindo por \psi) é
K(x)=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{\psi''(x)}{\psi(x)}.
Note que, somando K(x)+V(x), obtemos de volta E:
K(x)+V(x)=E,
o que é consistente com a equação de Schrödinger. Aqui expliquei o porquê de usarmos \psi''/\psi: ao aplicar o operador cinético -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} sobre \psi e dividir por \psi obtemos uma “densidade” de energia cinética por unidade de probabilidade.

Passo 3

Calculemos \psi'(x) e \psi''(x) para a Gaussiana \psi(x)=A e^{-x^{2}/a^{2}}. É útil usar que \psi'(x)=\psi(x)\cdot(\ln\psi(x))', mas faremos passo a passo:
\psi'(x)=A\left(-\frac{2x}{a^{2}}\right)e^{-x^{2}/a^{2}}=-\frac{2x}{a^{2}}\psi(x).
Derivando novamente,
\psi''(x)=\left(-\frac{2}{a^{2}}\right)\psi(x)+\left(-\frac{2x}{a^{2}}\right)\psi'(x).
Substituindo \psi'(x)=-\dfrac{2x}{a^{2}}\psi(x) obtemos
\psi''(x)=-\frac{2}{a^{2}}\psi(x)+\frac{4x^{2}}{a^{4}}\psi(x)=\left(-\frac{2}{a^{2}}+\frac{4x^{2}}{a^{4}}\right)\psi(x).
Portanto a razão importante é
\frac{\psi''(x)}{\psi(x)}=-\frac{2}{a^{2}}+\frac{4x^{2}}{a^{4}}.
Observação: a constante A cancela em \psi''/\psi, por isso não precisamos saber A para V(x) e K(x).

Passo 4

Usando o resultado do passo anterior nas fórmulas do Passo 2 temos as expressões gerais (ainda simbólicas):
K(x)=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(-\frac{2}{a^{2}}+\frac{4x^{2}}{a^{4}}\right),
V(x)=E+\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(-\frac{2}{a^{2}}+\frac{4x^{2}}{a^{4}}\right).
Agora vamos simplificar cada uma.

Passo 5

Simplificamos K(x):
K(x)=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(-\frac{2}{a^{2}}+\frac{4x^{2}}{a^{4}}\right) =\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(\frac{2}{a^{2}}-\frac{4x^{2}}{a^{4}}\right).
Colocando em forma mais compacta:
K(x)=\frac{\hbar^{2}}{m a^{2}}\left(1-\frac{2x^{2}}{a^{2}}\right).
Como no item (a) foi dado \displaystyle E=\frac{\hbar^{2}}{m a^{2}}, podemos escrever
K(x)=E\left(1-\frac{2x^{2}}{a^{2}}\right).
Agora V(x). Use V(x)=E+ \dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{\psi''}{\psi}. Substituindo \dfrac{\psi''}{\psi}:
V(x)=E+\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(-\frac{2}{a^{2}}+\frac{4x^{2}}{a^{4}}\right) =E+\left(-\frac{\hbar^{2}}{m a^{2}}+\frac{2\hbar^{2}x^{2}}{m a^{4}}\right).
Mas como E=\dfrac{\hbar^{2}}{m a^{2}}, o termo E-\dfrac{\hbar^{2}}{m a^{2}} cancela, restando
V(x)=\frac{2\hbar^{2}}{m a^{4}}\,x^{2}.
Em termos de E isso é
V(x)=2E\frac{x^{2}}{a^{2}}.
Verificação rápida: K(x)+V(x)=E(1-\tfrac{2x^{2}}{a^{2}})+2E\frac{x^{2}}{a^{2}}=E, consistente.

Passo 6

Interpretação e pontos notáveis:
  • Em x=0:
K(0)=E,\qquad V(0)=0.
Isso significa que no centro a energia é toda cinética (no sentido local).
  • Zeros e sinais: K(x)=0 quando 1-\dfrac{2x^{2}}{a^{2}}=0, isto é em |x|=\dfrac{a}{\sqrt{2}}. Para |x|>\dfrac{a}{\sqrt{2}} temos K(x)<0 (energia cinética local negativa é possível como entidade local, mas a energia total permanece E).
  • V(x) é parabólica, mínima em x=0 com V(0)=0 e cresce como \propto x^{2}:
V(x)=\frac{2\hbar^{2}}{m a^{4}}\,x^{2}.
Gráficos qualitativos:
  • V(x): curva parabólica simétrica, abertura para cima, passa por 0 em x=0.
  • K(x): valor máximo K(0)=E no centro, decresce até zero em |x|=a/\sqrt{2}, torna-se negativa para |x|>a/\sqrt{2} e decresce sem limite até -\infty quando |x|\to\infty (porque o termo -2x^{2}/a^{2} domina). Lembrete: como energia local, K(x) pode assumir valores negativos sem violar conservação global, já que K+V=E em cada ponto.

Passo 7

Agora repetimos com E=0. As fórmulas gerais do Passo 4 continuam válidas; substituímos E=0.
Usando \dfrac{\psi''}{\psi}=-\dfrac{2}{a^{2}}+\dfrac{4x^{2}}{a^{4}} obtemos:
K(x)=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(-\frac{2}{a^{2}}+\frac{4x^{2}}{a^{4}}\right) =\frac{\hbar^{2}}{m a^{2}}\left(1-\frac{2x^{2}}{a^{2}}\right),
o mesmo resultado para K(x) que já tínhamos (observação: K(x) depende só de \psi, não de E). Como E=0, V(x) fica
V(x)=0+\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(-\frac{2}{a^{2}}+\frac{4x^{2}}{a^{4}}\right) =\frac{\hbar^{2}}{m a^{2}}\left(-1+\frac{2x^{2}}{a^{2}}\right).
Podemos escrever
V(x)=\frac{2\hbar^{2}}{m a^{4}}\,x^{2}-\frac{\hbar^{2}}{m a^{2}}.
Note que agora V(x)=-K(x) (pois E=0 implica V=-K).

Passo 8

Pontos notáveis:
  • Em x=0:
K(0)=\frac{\hbar^{2}}{m a^{2}},\qquad V(0)=-\frac{\hbar^{2}}{m a^{2}}.
Aqui potencial é negativo (poço) e igual em módulo à energia cinética local.
  • Zeros: V(x)=0 quando 2x^{2}/a^{2}-1=0, i.e. |x|=a/\sqrt{2}. Para |x|<a/\sqrt{2} temos V(x)<0 (poço), para |x|>a/\sqrt{2} temos V(x)>0.
  • K(x) é idêntico ao caso anterior: positivo próximo do centro, nulo em |x|=a/\sqrt{2}, negativo fora dessa região.
    Gráficos qualitativos:
  • V(x): uma parábola deslocada para baixo que tem mínimo em x=0 com valor negativo -\dfrac{\hbar^{2}}{m a^{2}}, cruza o eixo em |x|=a/\sqrt{2} e cresce quadráticamente.
  • K(x): mesma descrição do item (a). Como E=0, nas regiões onde V>0 temos K<0 e vice-versa, sempre com K(x)+V(x)=0.

Resposta

(a) V(x)=\frac{2\hbar^{2}}{m a^{4}}\,x^{2}=2E\frac{x^{2}}{a^{2}},\qquad K(x)=\frac{\hbar^{2}}{m a^{2}}\left(1-\frac{2x^{2}}{a^{2}}\right)=E\left(1-\frac{2x^{2}}{a^{2}}\right).
(b) V(x)=\frac{2\hbar^{2}}{m a^{4}}\,x^{2}-\frac{\hbar^{2}}{m a^{2}},\qquad K(x)=\frac{\hbar^{2}}{m a^{2}}\left(1-\frac{2x^{2}}{a^{2}}\right).

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