(a) Em uma região do espaço, uma partícula de massa
possui uma função de onda dada por
e uma energia dada por
onde a é um comprimento. Determine, como função de
, a energia potencial
e a energia cinética
da partícula. Faça gráficos de
e
;
(b) Repita o item (a) para uma energia total nula.
(b) Repita o item (a) para uma energia total nula.
Passo 1
O enunciado dá:
e, no item (a), a energia total
Pede-se, como função de
, a energia potencial
e a energia cinética
da partícula e fazer gráficos qualitativos de
e
. No item (b) repetir para a energia total nula (
).\n
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- Função de onda conhecida
(Gaussiana) — constante de normalização não especificada. - No (a) a energia total é
. - No (b) a energia total é
. - A equação que relaciona
, e é a equação de Schrödinger estacionária (isso será usado no Passo 2).
Passo 2
Vamos escrever a equação de Schrödinger unidimensional estacionária e definir a energia cinética local que vamos usar. A equação é
Dessa equação podemos isolar
:
A energia cinética “local” (o valor de energia cinética associado à função de onda em cada ponto, obtido formalmente aplicando o operador cinético e dividindo por
) é
Note que, somando
, obtemos de volta
:
o que é consistente com a equação de Schrödinger. Aqui expliquei o porquê de usarmos
: ao aplicar o operador cinético
sobre
e dividir por
obtemos uma “densidade” de energia cinética por unidade de probabilidade.
Passo 3
Calculemos
e
para a Gaussiana
. É útil usar que
, mas faremos passo a passo:
Derivando novamente,
Substituindo
obtemos
Portanto a razão importante é
Observação: a constante
cancela em
, por isso não precisamos saber
para
e
.
Passo 4
Usando o resultado do passo anterior nas fórmulas do Passo 2 temos as expressões gerais (ainda simbólicas):
Agora vamos simplificar cada uma.
Passo 5
Simplificamos
:
Colocando em forma mais compacta:
Como no item (a) foi dado
, podemos escrever
Agora
. Use
. Substituindo
:
Mas como
, o termo
cancela, restando
Em termos de
isso é
Verificação rápida:
, consistente.
Passo 6
Interpretação e pontos notáveis:
- Em
:
Isso significa que no centro a energia é toda cinética (no sentido local).
- Zeros e sinais:
quando , isto é em . Para temos (energia cinética local negativa é possível como entidade local, mas a energia total permanece ). -
é parabólica, mínima em com e cresce como :
Gráficos qualitativos:
-
: curva parabólica simétrica, abertura para cima, passa por em . -
: valor máximo no centro, decresce até zero em , torna-se negativa para e decresce sem limite até quando (porque o termo domina). Lembrete: como energia local, pode assumir valores negativos sem violar conservação global, já que em cada ponto.
Passo 7
Agora repetimos com
. As fórmulas gerais do Passo 4 continuam válidas; substituímos
.
Usando obtemos:
Usando
o mesmo resultado para
que já tínhamos (observação:
depende só de
, não de
). Como
,
fica
Podemos escrever
Note que agora
(pois
implica
).
Passo 8
Pontos notáveis:
- Em
:
Aqui potencial é negativo (poço) e igual em módulo à energia cinética local.
- Zeros:
quando , i.e. . Para temos (poço), para temos . -
é idêntico ao caso anterior: positivo próximo do centro, nulo em , negativo fora dessa região.
Gráficos qualitativos: -
: uma parábola deslocada para baixo que tem mínimo em com valor negativo , cruza o eixo em e cresce quadráticamente. -
: mesma descrição do item (a). Como , nas regiões onde temos e vice-versa, sempre com .
Resposta
(a)
(b)