30.8 A fermentação microbiana de A produz R, como mostrado a seguir:
10 \mathrm{~A}+\text { Célula } \rightarrow 18 \mathrm{R}+2 \text { Células }éé
e experimentos em um reator de mistura perfeita com C_{\mathrm{A} 0}=250 \mathrm{mols} / \mathrm{m}^{3} resultam em:
\begin{array}{ll} C_{\mathrm{R}}=24 \mathrm{mols} / \mathrm{m}^{3} & \text { quando } \tau=1,5 \mathrm{~h} \\\ C_{\mathrm{R}}=30 \mathrm{mols} / \mathrm{m}^{3} & \text { quando } \tau=3,0 \mathrm{~h} \end{array}
Além disto, parece haver um valor limitante superior de C_{\mathrm{R}}\left(36 \mathrm{mols} / \mathrm{m}^{3}\right), para qualquer \tau_{m}, C_{\mathrm{A}} ou C_{\mathrm{c}}.
Dessa informação, determine como maximizar o rendimento fracionário de R ou R / A, a partir de uma corrente de alimentação de 10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} com C_{\mathrm{A} 0}=350 \mathrm{mols} / \mathrm{m}^{3}. A separação das células ou do produto e o reciclo não são práticos nesse sistema; assim, considere somente um sistema com escoamento principal. Apresente sua resposta em forma de um esquema mostrando o tipo de reator, o volume do reator, C_{\mathrm{R}} na corrente de saída e o número de mols de R produzido / \mathrm{h}.

Passo 1

O enunciado pede que eu maximize o rendimento fracionário de R (isto é, \mathrm{R}/\mathrm{A} em mol/mol) a partir de uma corrente de alimentação com vazão volumétrica 10\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} e concentração de entrada de A igual a C_{A0}=350\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3. Informações dadas e relevantes:
  • Estequiometria da reação: 10\\ A + \text{Célula} \rightarrow 18\\ R + 2\\ \text{Células}éé.
  • Experimentos em reator de mistura perfeita (CSTR) com C_{A0}=250\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3 deram:
    • C_R = 24\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3 quando \tau=1{,}5\\ \mathrm{h}.
    • C_R = 30\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3 quando \tau=3{,}0\\ \mathrm{h}.
  • Há um valor limite superior dado de C_R^{\max}=36\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3, que não é ultrapassado para qualquer \tau_m, C_A ou C_c.
  • Não há reciclo nem separação; considere apenas o escoamento principal (um único reator contínuo).
  • O que preciso entregar: tipo de reator, volume do reator, C_R na corrente de saída e número de mols de R produzido por hora.

Passo 2

Entendendo o que é o rendimento fracionário e a relação entre concentrações e vazões (a ideia básica).
  • Definição prática pedida: rendimento fracionário \dfrac{R}{A} = \dfrac{\text{mols de }R\\ \text{produzidos por hora}}{\text{mols de }A\\ \text{alimentados por hora}}.
  • Se a corrente de alimentação tem vazão volumétrica F e concentração de entrada C_{A0}, então os mols de A alimentados por hora são F\cdot C_{A0}.
  • Se o produto R não entra na alimentação (assumimos C_{R,\text{in}}=0), os mols de R produzidos por hora são igual à vazão vezes a concentração de saída: F\cdot C_{R,\text{out}}.
  • Logo, o rendimento fracionário (mol R por mol A alimentado) é simplesmente
\frac{R}{A} \;=\; \frac{F\cdot C_{R,\text{out}}}{F\cdot C_{A0}} \;=\; \frac{C_{R,\text{out}}}{C_{A0}}.
Isso é intuitivo: com escoamento único, o quociente entre as concentrações do produto na saída e do reagente na entrada dá o rendimento molar por mol de A alimentado.

Passo 3

Qual é o máximo possível do rendimento, dado o limite de concentração de produto?
  • Como o enunciado afirma que existe um limite superior C_R^{\max}=36\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3 para a concentração de R na saída, o máximo teórico do rendimento é obtido quando C_{R,\text{out}}=C_R^{\max}.
  • Com C_{A0}=350\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3, o rendimento máximo teórico é
\frac{R}{A}\Big|_{\max} = \frac{36}{350} \approx 0{,}102857 \quad(\text{ou }10{,}2857\%).
  • O número máximo de mols de R por hora correspondente (se realmente atingir 36\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3) seria
\dot{n}_R = F\cdot C_{R,\text{out}} = 10\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} \times 36\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3 = 360\\ \mathrm{mols}/\mathrm{h}.
  • Observação importante: atingir exatamente C_R^{\max} costuma exigir tempos de residência muito grandes; portanto vamos estimar um projeto prático que chegue perto do máximo.

Passo 4

Escolha do tipo de reator e justificativa pedagógica.
  • Os dados experimentais foram medidos em um reator de mistura perfeita (CSTR). Além disso, fermentações com células normalmente precisam de mistura para manter células suspensas e condições uniformes. Por isso, o tipo de reator recomendado aqui é um CSTR único bem agitado.
  • Para projetar o volume do CSTR usamos o tempo de residência médio \tau e a relação V=F\cdot \tau.
  • Precisamos estimar qual \tau dá uma concentração de saída próxima do limite 36. Para isso é útil postular um modelo simples do comportamento de C_R com \tau.

Passo 5

Postular um modelo simples e ajustar a partir dos dados (aulas rápidas sobre modelagem empírica).
  • Uma forma simples, frequentemente usada para fenômenos que crescem até um limite, é um modelo exponencial de aproximação ao assíntota:
C_R(\tau)=C_R^{\max}\bigl(1-e^{-k\tau}\bigr),
onde k é uma constante cinética aparente (unidade h^{-1}). Explicação didática: esse modelo diz que a diferença entre o máximo e o valor atual decai exponencialmente com o tempo de residência — é um modelo simples, fácil de ajustar e razoável quando só temos alguns pontos experimentais.
  • Usando C_R^{\max}=36\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3 e os dois pares (\tau,C_R) dados, posso estimar k. Da equação obtemos
e^{-k\tau}=1-\frac{C_R(\tau)}{36}, \qquad k=-\frac{1}{\tau}\ln\!\Bigl(1-\frac{C_R(\tau)}{36}\Bigr).
  • Calculemos k para cada ponto experimental:
    • Para \tau=1{,}5\\ \mathrm{h} e C_R=24:
    k_1 = -\frac{1}{1{,}5}\ln\!\Bigl(1-\frac{24}{36}\Bigr) = -\frac{1}{1{,}5}\ln(0{,}3333333) \approx 0{,}732408\\ \mathrm{h}^{-1}.
    • Para \tau=3{,}0\\ \mathrm{h} e C_R=30:
    k_2 = -\frac{1}{3{,}0}\ln\!\Bigl(1-\frac{30}{36}\Bigr) = -\frac{1}{3{,}0}\ln(0{,}1666667) \approx 0{,}597253\\ \mathrm{h}^{-1}.
  • Os dois ks não são idênticos (dados experimentais e ruído), então tomo um valor representativo pela média:
k \approx \frac{k_1+k_2}{2} \approx 0{,}664831\\ \mathrm{h}^{-1}.
  • Com esse k temos um modelo de trabalho
C_R(\tau)\approx 36\bigl(1-e^{-0{,}664831\,\tau}\bigr).

Passo 6

Escolher um critério prático de aproximação ao máximo e calcular o volume necessário.
  • Para um projeto prático devemos escolher quão próximo do máximo queremos chegar. Vou escolher chegar a 98\% de C_R^{\max}, ou seja C_R=0{,}98\cdot 36 = 35{,}28\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3. Justificativa: 98% é praticamente o máximo, sem exigir volumes astronomicamente grandes.
  • Resolver para \tau usando o modelo exponencial:
e^{-k\tau}=1-\frac{C_R}{36}=1-0{,}98=0{,}02,
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\tau = -\frac{\ln(0{,}02)}{k} \approx -\frac{-3{,}912023}{0{,}664831} \approx 5{,}886\\ \mathrm{h}.
  • Com vazão F=10\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}, o volume do reator necessário é
V = F\cdot \tau \approx 10\cdot 5{,}886 \approx 58{,}86\\ \mathrm{m}^3.
  • Verificações finais:
    • Concentração de saída projetada: C_{R,\text{out}}\approx 35{,}28\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3 (isto é 98\% de 36).
    • Produção de R por hora:
    \dot{n}_R = F\cdot C_{R,\text{out}} \approx 10\cdot 35{,}28 = 352{,}8\\ \mathrm{mols}/\mathrm{h}.
    • Rendimento fracionário alcançado:
    \frac{R}{A}=\frac{C_{R,\text{out}}}{C_{A0}} \approx \frac{35{,}28}{350} \approx 0{,}1008 \quad(\text{ou }10{,}08\%).
  • Nota pedagógica: se alguém quisesse o rendimento teórico absoluto máximo =36/350\approx0{,}10286 (ou 360\\ \mathrm{mols}/\mathrm{h}), deveria aumentar \tau indefinidamente; o projeto acima é uma escolha prática que fica muito perto do limite.

Resposta

Tipo de reator: CSTR (reator de mistura perfeita).
Volume do reator: V \approx 58{,}9\\ \mathrm{m}^3.
Concentração de R na corrente de saída: C_{R,\text{out}} \approx 35{,}28\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3.
Mols de R produzidos por hora: \dot{n}_R \approx 352{,}8\\ \mathrm{mols}/\mathrm{h}.

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