Além disto, parece haver um valor limitante superior de C_{\mathrm{R}}\left(36 \mathrm{mols} / \mathrm{m}^{3}\right), para qualquer \tau_{m}, C_{\mathrm{A}} ou C_{\mathrm{c}}.
Dessa informação, determine como maximizar o rendimento fracionário de R ou R / A, a partir de uma corrente de alimentação de 10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} com C_{\mathrm{A} 0}=350 \mathrm{mols} / \mathrm{m}^{3}. A separação das células ou do produto e o reciclo não são práticos nesse sistema; assim, considere somente um sistema com escoamento principal. Apresente sua resposta em forma de um esquema mostrando o tipo de reator, o volume do reator, C_{\mathrm{R}} na corrente de saída e o número de mols de R produzido / \mathrm{h}.
Passo 1
O enunciado pede que eu maximize o rendimento fracionário de R (isto é, \mathrm{R}/\mathrm{A} em mol/mol) a partir de uma corrente de alimentação com vazão volumétrica 10\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} e concentração de entrada de A igual a C_{A0}=350\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3. Informações dadas e relevantes:
Estequiometria da reação: 10\\ A + \text{Célula} \rightarrow 18\\ R + 2\\ \text{Células}.
Experimentos em reator de mistura perfeita (CSTR) com C_{A0}=250\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3 deram:
C_R = 24\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3 quando \tau=1{,}5\\ \mathrm{h}.
C_R = 30\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3 quando \tau=3{,}0\\ \mathrm{h}.
Há um valor limite superior dado de C_R^{\max}=36\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3, que não é ultrapassado para qualquer \tau_m, C_A ou C_c.
Não há reciclo nem separação; considere apenas o escoamento principal (um único reator contínuo).
O que preciso entregar: tipo de reator, volume do reator, C_R na corrente de saída e número de mols de R produzido por hora.
Passo 2
Entendendo o que é o rendimento fracionário e a relação entre concentrações e vazões (a ideia básica).
Definição prática pedida: rendimento fracionário \dfrac{R}{A} = \dfrac{\text{mols de }R\\ \text{produzidos por hora}}{\text{mols de }A\\ \text{alimentados por hora}}.
Se a corrente de alimentação tem vazão volumétrica F e concentração de entrada C_{A0}, então os mols de A alimentados por hora são F\cdot C_{A0}.
Se o produto R não entra na alimentação (assumimos C_{R,\text{in}}=0), os mols de R produzidos por hora são igual à vazão vezes a concentração de saída: F\cdot C_{R,\text{out}}.
Logo, o rendimento fracionário (mol R por mol A alimentado) é simplesmente
Isso é intuitivo: com escoamento único, o quociente entre as concentrações do produto na saída e do reagente na entrada dá o rendimento molar por mol de A alimentado.
Passo 3
Qual é o máximo possível do rendimento, dado o limite de concentração de produto?
Como o enunciado afirma que existe um limite superior C_R^{\max}=36\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3 para a concentração de R na saída, o máximo teórico do rendimento é obtido quando C_{R,\text{out}}=C_R^{\max}.
Com C_{A0}=350\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3, o rendimento máximo teórico é
Observação importante: atingir exatamente C_R^{\max} costuma exigir tempos de residência muito grandes; portanto vamos estimar um projeto prático que chegue perto do máximo.
Passo 4
Escolha do tipo de reator e justificativa pedagógica.
Os dados experimentais foram medidos em um reator de mistura perfeita (CSTR). Além disso, fermentações com células normalmente precisam de mistura para manter células suspensas e condições uniformes. Por isso, o tipo de reator recomendado aqui é um CSTR único bem agitado.
Para projetar o volume do CSTR usamos o tempo de residência médio \tau e a relação V=F\cdot \tau.
Precisamos estimar qual \tau dá uma concentração de saída próxima do limite 36. Para isso é útil postular um modelo simples do comportamento de C_R com \tau.
Passo 5
Postular um modelo simples e ajustar a partir dos dados (aulas rápidas sobre modelagem empírica).
Uma forma simples, frequentemente usada para fenômenos que crescem até um limite, é um modelo exponencial de aproximação ao assíntota:
C_R(\tau)=C_R^{\max}\bigl(1-e^{-k\tau}\bigr),
onde k é uma constante cinética aparente (unidade h^{-1}). Explicação didática: esse modelo diz que a diferença entre o máximo e o valor atual decai exponencialmente com o tempo de residência — é um modelo simples, fácil de ajustar e razoável quando só temos alguns pontos experimentais.
Usando C_R^{\max}=36\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3 e os dois pares (\tau,C_R) dados, posso estimar k. Da equação obtemos
Escolher um critério prático de aproximação ao máximo e calcular o volume necessário.
Para um projeto prático devemos escolher quão próximo do máximo queremos chegar. Vou escolher chegar a 98\% de C_R^{\max}, ou seja C_R=0{,}98\cdot 36 = 35{,}28\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3. Justificativa: 98% é praticamente o máximo, sem exigir volumes astronomicamente grandes.
Nota pedagógica: se alguém quisesse o rendimento teórico absoluto máximo =36/350\approx0{,}10286 (ou 360\\ \mathrm{mols}/\mathrm{h}), deveria aumentar \tau indefinidamente; o projeto acima é uma escolha prática que fica muito perto do limite.
Resposta
Tipo de reator: CSTR (reator de mistura perfeita).
Volume do reator: V \approx 58{,}9\\ \mathrm{m}^3.
Concentração de R na corrente de saída: C_{R,\text{out}} \approx 35{,}28\\ \mathrm{mols}/\mathrm{m}^3.
Mols de R produzidos por hora: \dot{n}_R \approx 352{,}8\\ \mathrm{mols}/\mathrm{h}.