Se a região limitada pela curva y=1-x^2 e o eixo x é girada em torno da reta x=-1, o sólido resultante terá qual volume?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o volume de um sólido que resulta ao girar a região delimitada pela curva e o eixo ao redor da reta . Isso tá relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente ao método dos cascos cilindrícos para volumes de rotação. Vamos precisar entender como esse método funciona e aplicar as fórmulas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva é uma parábola que abre pra baixo e intercepta o eixo nos pontos e . Então, a área que estamos considerando está entre esses pontos e acima do eixo .

Passo 3

Como estamos girando em torno da reta , que é vertical e paralela ao eixo , o método mais adequado aqui é o dos cascos cilindrícos. Esse método envolve integrar cilindros imaginários (cascos) que, quando somados, dão o volume total do sólido.

Passo 4

No método dos cascos, a fórmula para o volume V = 2pi integrala^b (raio)(a é:
Aqui, o “raio” é a distância da reta de rotação ( ) até o elemento da curva, e a “altura” é a função .

Passo 5

Vamos identificar os limites de integração. Como a parábola intercepta o eixo em e , nossos limites serão de a .

Passo 6

Agora, determinamos o raio e a altura para a fórmula. O raio é a distância entre raio = x - (-1) = x + 1 e um ponto genérico , que é:
A altura é simplesmente a função .

Passo 7

Substituindo na fórmula do volume, temos:
V = 2pi integral-1^1 (x + 1)(1 - x^2) , dx
Vamos resolver essa integral para encontrar o volume.

Passo 8

Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
(x + 1)(1 - x^2) = x cdot 1 + x cdot (-x^2) + 1 cdot 1 + 1 cdot (-x^2) = x - x^3 + 1 - x^2
Então, a integral fica:
V = 2pi integral-1^1 (x - x^3 + 1 - x^2) , dx

Passo 9

Agora, integramos termo a termo:
integral-1^1 x , dx = [ x^22 ]-1^1 = 12 - 12 = 0
integral-1^1 -x^3 , dx = -[ x^44 ]-1^1 = -( 14 - 14 ) = 0
integral-1^1 1 , dx = [ x ]-1^1 = 1 - (-1) = 2
integral-1^1 -x^2 , dx = -[ x^33 ]-1^1 = -( 13 - (-13) ) = -( 23 ) = -23

Passo 10

Somando os resultados das integrais:
0 + 0 + 2 - 23 = 63 - 23 = 43
Então, o volume é:
V = 2pi cdot 43 = 8pi3

Resposta

O volume do sólido resultante é unidades cúbicas.

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