Se a região limitada pela curva
e o eixo
é girada em torno da reta
, o sólido resultante terá qual volume?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o volume de um sólido que resulta ao girar a região delimitada pela curva
e o eixo
ao redor da reta
. Isso tá relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente ao método dos cascos cilindrícos para volumes de rotação. Vamos precisar entender como esse método funciona e aplicar as fórmulas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva
é uma parábola que abre pra baixo e intercepta o eixo
nos pontos
e
. Então, a área que estamos considerando está entre esses pontos e acima do eixo
.
Passo 3
Como estamos girando em torno da reta
, que é vertical e paralela ao eixo
, o método mais adequado aqui é o dos cascos cilindrícos. Esse método envolve integrar cilindros imaginários (cascos) que, quando somados, dão o volume total do sólido.
Passo 4
No método dos cascos, a fórmula para o volume
é:
Aqui, o “raio” é a distância da reta de rotação (
) até o elemento
da curva, e a “altura” é a função
.
Passo 5
Vamos identificar os limites de integração. Como a parábola intercepta o eixo
em
e
, nossos limites serão de
a
.
Passo 6
Agora, determinamos o raio e a altura para a fórmula. O raio é a distância entre
e um ponto genérico
, que é:
A altura é simplesmente a função
.
Passo 7
Substituindo na fórmula do volume, temos:
Vamos resolver essa integral para encontrar o volume.
Passo 8
Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, integramos termo a termo:
Passo 10
Somando os resultados das integrais:
Então, o volume é:
Resposta
O volume do sólido resultante é
unidades cúbicas.