Em uma região onde ao meio dia o Sol incide perpendicularmente à superfície terrestre, um estudante realiza um experimento, fazendo a luz solar incidir sobre uma superfície plana, com um orifício pequeno situado a 110 cm do chão. Ele observa que é produzida uma mancha luminosa de raio 5 mm no chão. Usando a distância Terra-Sol obtida acima, estime o raio solar em km.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um experimento onde a luz do Sol, que está diretamente acima ao meio-dia, passa por um orifício pequeno situado a 110 cm do chão. Isso forma uma mancha luminosa no chão com um raio de 5 mm. Queremos usar essa informação, junto com a distância Terra-Sol, para estimar o raio do Sol em quilômetros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e proporção, aplicando a ideia de triângulos semelhantes.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine que o Sol está emitindo raios de luz que passam pelo orifício e formam uma sombra no chão. Como o Sol está muito distante, os raios que chegam até o orifício são praticamente paralelos. Isso cria um triângulo gigante entre o Sol, o orifício e a mancha no chão.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre proporcionalidade. Como os triângulos são semelhantes, as proporções dos lados são iguais. Isso significa que o raio do Sol está para a distância Terra-Sol o que o raio da mancha está para a altura do orifício.
Matematicamente, podemos expressar isso assim:
RSolD = rh
Onde:
  • RSol é o raio do Sol que queremos encontrar.
  • D é a distância da Terra ao Sol.
  • r é o raio da mancha luminosa (5 mm = 0,005 m).
  • h é a altura do orifício (110 cm = 1,10 m).

Passo 4

Vamos reorganizar a fórmula para resolver RSol :
RSol = D times rh
Isso significa que multiplicamos a distância Terra-Sol pelo raio da mancha e dividimos pela altura do orifício.

Passo 5

Agora, precisamos dos valores numéricos. A distância média da Terra ao Sol ( D ) é aproximadamente 1,496 times 10^11 metros.
Substituindo os valores na fórmula:
RSol = 1,496 times 10^11 , m times 0,005 , m1,10 , m

Passo 6

Fazendo as contas:
RSol = 7,48 times 10^8 , m^21,10 , m = 6,8 times 10^8 , m

Passo 7

Finalmente, vamos converter metros para quilômetros, já que 1 km = 1000 m:
RSol = 6,8 times 10^8 , m div 1000 = 6,8 times 10^5 , km

Resposta

O raio do Sol estimado é aproximadamente 6,8 times 10^5 quilômetros.

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