Numa região plana, João começa a andar para o norte a 1,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a partir de um ponto P. No mesmo instante, Maria começa a andar para o sul a 1,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a partir de um ponto 80 m a leste de P. A que taxa João e Maria estarão se distanciando 20 segundos após terem começado a andar?

Passo 1

O enunciado descreve um problema de taxas relacionadas: João e Maria partem simultaneamente de pontos distintos numa região plana e caminham em direções opostas (norte e sul) com velocidades constantes. Precisamos modelar a distância entre eles em função do tempo e depois calcular a sua derivada em t=20 s. Para isso, escolhemos um sistema de coordenadas: o ponto P onde João parte é a origem (0,0), o eixo x aponta para leste e o eixo y aponta para norte.

Passo 2

Em função do tempo t (em segundos):
João está em
(x_J,y_J) = \bigl(0,\;1,6\,t\bigr).
Maria parte de 80 m a leste de P, caminhando para o sul, então
(x_M,y_M) = \bigl(80,\;-1,4\,t\bigr).
A distância entre eles é
s(t)=\sqrt{\bigl(x_J - x_M\bigr)^{2} + \bigl(y_J - y_M\bigr)^{2}} =\sqrt{80^{2} + \bigl(1,6\,t -(-1,4\,t)\bigr)^{2}} =\sqrt{6400 + (3\,t)^{2}} =\sqrt{6400 + 9\,t^{2}}.

Passo 3

Para achar a taxa ds/dt, derivamos em relação a t:
\frac{ds}{dt} =\frac{1}{2\,\sqrt{6400+9\,t^{2}}}\cdot \frac{d}{dt}\bigl(6400+9\,t^{2}\bigr) =\frac{1}{2\,s(t)}\cdot 18\,t =\frac{9\,t}{\sqrt{6400+9\,t^{2}}}.

Passo 4

Em t=20 s, primeiro calculamos
s(20)=\sqrt{6400 + 9\cdot 20^{2}} =\sqrt{6400 + 3600} =\sqrt{10000} =100\text{ m}.
Logo,
\left.\frac{ds}{dt}\right|_{t=20} =\frac{9\cdot 20}{100} =\frac{180}{100} =1,8\;\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Resposta

A taxa de distanciamento entre João e Maria, 20 segundos após o início, é 1,8\;\mathrm{m}/\mathrm{s}.

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