Determine o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função f(x)=e^{-x}+x e^{-x} no intervalo [-1,1].

Passo 1

O enunciado nos dá a função \,f(x)=e^{-x}+x e^{-x}=(1+x)e^{-x}\, no intervalo fechado [-1,1] e pede o máximo e o mínimo absolutos. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas para achar pontos críticos e depois comparar os valores de f nesses pontos e nas extremidades.

Passo 2

Para encontrar os extremos, calculamos a derivada de f(x)=(1+x)e^{-x}. Usando a regra do produto, temos
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(1+x\bigr)\,e^{-x}+(1+x)\,\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr) =e^{-x}-(1+x)e^{-x} =-x\,e^{-x}.

Passo 3

Igualamos a derivada a zero:
f'(x)=-x\,e^{-x}=0.
Como e^{-x}>0 para todo x, a única solução é x=0, ponto crítico no interior de [-1,1].

Passo 4

Agora avaliamos f nos pontos críticos e nas extremidades:
f(-1)=(1+(-1))e^{-(-1)}=0\cdot e^{1}=0,
f(0)=(1+0)e^{0}=1,
f(1)=(1+1)e^{-1}=\frac{2}{e}\approx0,736.

Passo 5

Comparando os valores:
f(-1)=0,\quad f(0)=1,\quad f(1)=\frac{2}{e}\approx0,736.
O menor valor é 0 em x=-1 e o maior valor é 1 em x=0.

Resposta

O mínimo absoluto é 0 atingido em x=-1.
O máximo absoluto é 1 atingido em x=0.

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