Considere a função
e suas primeira e segunda derivadas dadas por
Determine:
(a) os intervalos de crescimento e decrescimento de
, indicando, caso existam, seus pontos de máximo e de mínimo locais;
(b) os intervalos em que
tem concavidade para cima e em que
tem concavidade para baixo es pontos de inflexão de
, se existirem;
(c) as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de
, se existirem.
(b) os intervalos em que
(c) as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de
Passo 1
O enunciado fornece
e pede:
(a) intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais usando o teste do sinal de ;
(b) intervalos de concavidade e pontos de inflexão usando o sinal de ;
(c) assíntotas verticais (onde o denominador zera) e horizontais (limites em ).
(a) intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais usando o teste do sinal de
(b) intervalos de concavidade e pontos de inflexão usando o sinal de
(c) assíntotas verticais (onde o denominador zera) e horizontais (limites em
Passo 2
Para (a), achamos onde
e onde ela não existe:
Então os intervalos de domínio são
,
e
. Em cada um avaliamos o sinal de
Como
e
muda de sinal em
, temos:
- em
: , (decresce); - em
: , (cresce); - em
: , (decresce).
Passo 3
Do comportamento de
vemos que em
passa de decrescente para crescente, logo há mínimo local em
. O valor é
Não há máximo local, pois não há mudança de sinal de
que indique isso.
Passo 4
Para (b), estudamos o sinal de
Aqui
para todo
, então o sinal vem de
:
- em
: (concavidade para baixo); - em
: (concavidade para cima).
Emmuda-se de concavidade, logo é ponto de inflexão. O valor é
Passo 5
Para (c), a única singularidade é
, logo há assíntota vertical em
Para as assíntotas horizontais, buscamos
logo existe assíntota horizontal
Resposta
(a) Cresce em
, decresce em
e
. Há mínimo local em
e nenhum máximo.
(b) Concava para baixo em , concava para cima em
e
. Ponto de inflexão em
.
(c) Assíntota vertical: . Assíntota horizontal:
.
(b) Concava para baixo em
(c) Assíntota vertical: