Considere a função f e suas primeira e segunda derivadas dadas por
f(x)=\frac{9\left(x^{2}+1\right)}{(x-1)^{2}} \quad f^{\prime}(x)=\frac{-18(x+1)}{(x-1)^{3}} \quad f^{\prime \prime}(x)=\frac{36(x+2)}{(x-1)^{4}}

Determine:

(a) os intervalos de crescimento e decrescimento de f, indicando, caso existam, seus pontos de máximo e de mínimo locais;
(b) os intervalos em que f tem concavidade para cima e em que f tem concavidade para baixo es pontos de inflexão de f, se existirem;
(c) as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de f, se existirem.

Passo 1

O enunciado fornece
f(x)=\frac{9\bigl(x^{2}+1\bigr)}{(x-1)^{2}},\quad f'(x)=\frac{-18(x+1)}{(x-1)^{3}},\quad f''(x)=\frac{36(x+2)}{(x-1)^{4}}
e pede:
(a) intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais usando o teste do sinal de f';
(b) intervalos de concavidade e pontos de inflexão usando o sinal de f'';
(c) assíntotas verticais (onde o denominador zera) e horizontais (limites em \pm\infty).

Passo 2

Para (a), achamos onde f'=0 e onde ela não existe:
f'(x)=0\iff x+1=0\iff x=-1,\qquad f' \text{ indefinida em }x=1.
Então os intervalos de domínio são (-\infty,-1), (-1,1) e (1,\infty). Em cada um avaliamos o sinal de
f'(x)=-18\,\frac{x+1}{(x-1)^3}.
Como -18<0 e (x-1)^3 muda de sinal em x=1, temos:
  • em (-\infty,-1): x+1<0, (x-1)^3<0 \Rightarrow f'<0 (decresce);
  • em (-1,1): x+1>0, (x-1)^3<0 \Rightarrow f'>0 (cresce);
  • em (1,\infty): x+1>0, (x-1)^3>0 \Rightarrow f'<0 (decresce).

Passo 3

Do comportamento de f' vemos que em x=-1 passa de decrescente para crescente, logo há mínimo local em x=-1. O valor é
f(-1)=\frac{9\bigl((-1)^2+1\bigr)}{(-1-1)^2} =\frac{9\cdot2}{4}=\frac{9}{2}.
Não há máximo local, pois não há mudança de sinal de f' que indique isso.

Passo 4

Para (b), estudamos o sinal de
f''(x)=36\,\frac{x+2}{(x-1)^{4}}.
Aqui (x-1)^4>0 para todo x\ne1, então o sinal vem de x+2:
  • em (-\infty,-2): x+2<0 \Rightarrow f''<0 (concavidade para baixo);
  • em (-2,1)\cup(1,\infty): x+2>0 \Rightarrow f''>0 (concavidade para cima).
    Em x=-2 muda-se de concavidade, logo é ponto de inflexão. O valor é
f(-2)=\frac{9\bigl(4+1\bigr)}{(-2-1)^2} =\frac{9\cdot5}{9}=5.

Passo 5

Para (c), a única singularidade é x=1, logo há assíntota vertical em
x=1.
Para as assíntotas horizontais, buscamos
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}9\,\frac{x^2+1}{x^2-2x+1} =9\cdot\frac{1+0}{1+0+0}=9,
logo existe assíntota horizontal
y=9.

Resposta

(a) Cresce em (-1,1), decresce em (- \infty,-1) e (1,\infty). Há mínimo local em \bigl(-1,\tfrac{9}{2}\bigr) e nenhum máximo.
(b) Concava para baixo em (- \infty,-2), concava para cima em (-2,1) e (1,\infty). Ponto de inflexão em \bigl(-2,5\bigr).
(c) Assíntota vertical: x=1. Assíntota horizontal: y=9.

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