Use o método das seções transversais para calcular o volume da menor calota esférica feita a 3 cm do centro de uma esfera de raio 5 .
Passo 1
O enunciado pede o volume da menor calota esférica obtida ao cortar uma esfera de raio
cm por um plano que está a
cm do centro. Vamos usar o método das seções transversais, em que dividimos a calota em discos de espessura infinitesimal e somamos seus volumes por integração.
Passo 2
Escolhemos um eixo
passando pelo centro da esfera, de forma que o plano de corte seja
. Cada seção transversal a uma altura
é um disco de raio
com
. A calota fica entre
e
.
Passo 3
O volume da calota é a integral dos volumes dos discos:
Passo 4
Calculamos a antiderivada:
Multiplicando por
, o primitivo de
é
Passo 5
Agora avaliamos de
até
:
Substituindo
:
Resposta
O volume da calota esférica é
c
.