Use o método das seções transversais para calcular o volume da menor calota esférica feita a 3 cm do centro de uma esfera de raio 5 .

Passo 1

O enunciado pede o volume da menor calota esférica obtida ao cortar uma esfera de raio 5 cm por um plano que está a 3 cm do centro. Vamos usar o método das seções transversais, em que dividimos a calota em discos de espessura infinitesimal e somamos seus volumes por integração.

Passo 2

Escolhemos um eixo z passando pelo centro da esfera, de forma que o plano de corte seja z=3. Cada seção transversal a uma altura z é um disco de raio
r(z) = raizR^2 - z^2
com R=5. A calota fica entre z=3 e z=5.

Passo 3

O volume da calota é a integral dos volumes dos discos:
V = integralz=3^5 pi l[r(z)r]^2 ,dz = integral3^5 pi l(R^2 - z^2r),dz

Passo 4

Calculamos a antiderivada:
integral l(R^2 - z^2r),dz = R^2 z - z^33
Multiplicando por pi, o primitivo de pi(R^2 - z^2) é
pil(R^2 z - tfracz^33r)

Passo 5

Agora avaliamos de z=3 até z=5:
V = pil[,R^2cdot5 - tfrac5^33r] - pil[,R^2cdot3 - tfrac3^33r]
Substituindo R=5:
pil[25cdot5 - tfrac1253r] - pil[25cdot3 - 9r] = pil[125 - tfrac1253 - 75 + 9r] = pil[tfrac2503 - tfrac1983r] = picdottfrac523

Resposta

O volume da calota esférica é 52pi3 c m^3.

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