A região R é limitada por
y=\sqrt{x}, \quad y=2, \quad x=0 .
A região gira em torno da reta
x=-1 .
Use o método das cascas cilíndricas

Passo 1

O enunciado dá a região R limitada por
y=\sqrt{x},\qquad y=2,\qquad x=0,
e pede o volume gerado quando R gira em torno da reta
x=-1,
usando o método das cascas cilíndricas.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A curva y=\sqrt{x} equivale a x=y^{2} e intersecta y=2 em x=4, pois \sqrt{x}=2\Rightarrow x=4.
  • A região R corresponde ao conjunto \{(x,y)\mid 0\le x\le 4,\\ \sqrt{x}\le y\le 2\}.
  • O eixo de rotação é a reta vertical x=-1.
    O que se pede: calcular o volume do sólido de revolução obtido por R ao girar em torno de x=-1, aplicando o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Por que usar cascas cilíndricas aqui (explicação didática e intuitiva, sem entrar em jargões):
  • O eixo de rotação é uma reta vertical ( x=-1). Para eixos verticais é natural tomar retângulos verticais (fatias verticais) e girá-los: cada fatia gera uma casca cilíndrica.
  • Então escolhemos uma fatia vertical localizada em uma abscissa genérica x, com espessura \,dx.
    Definição e fórmula básica do método das cascas cilíndricas (aula curtinha): se um retângulo vertical de altura h(x) e situado a distância r(x) do eixo de rotação é girado em torno desse eixo, a casca gerada tem volume aproximado
dV \approx \text{(circunferência)}\times\text{(altura)}\times\text{(espessura)} = 2\pi r(x)\,h(x)\,dx.ê
O volume total é obtido integrando dV sobre os x que cobrem a região.

Passo 3

Escolha da fatia típica e identificação de r(x) e h(x):
  • Tomamos uma fatia vertical em posição x com 0\le x\le 4.
  • A altura da fatia é a diferença entre a curva superior y=2 e a curva inferior y=\sqrt{x}, logo
h(x) = 2 - \sqrt{x}.
  • A distância radial desde a fatia até o eixo x=-1 é a diferença horizontal entre x e -1, logo
r(x) = x - (-1) = x+1.
  • A espessura da fatia é dx.
    Portanto a contribuição infinitesimal de volume é
dV = 2\pi\,r(x)\,h(x)\,dx = 2\pi (x+1)\bigl(2-\sqrt{x}\bigr)\,dx.

Passo 4

Montagem do integral de volume com os limites de integração:
  • As fatias variam em x de 0 até 4.
  • Assim o volume total é
V = \int_{0}^{4} 2\pi (x+1)\bigl(2-\sqrt{x}\bigr)\,dx.
Faço uma expansão do integrando para integrar termo a termo:
(x+1)\bigl(2-\sqrt{x}\bigr) = 2x+2 - x^{3/2} - x^{1/2}.
Logo
V = 2\pi\int_{0}^{4}\bigl(2x+2 - x^{3/2} - x^{1/2}\bigr)\,dx.

Passo 5

Integração passo a passo (regra da potência e avaliação nos limites):
  • Usando a regra da potência: \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq-1.
    Encontro as antiderivadas:
\int 2x\,dx = x^{2},\qquad \int 2\,dx = 2x,
\int x^{3/2}\,dx = \frac{2}{5}x^{5/2},\qquad \int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2}.
Portanto a primitiva do integrando é
F(x)=x^{2}+2x - \frac{2}{5}x^{5/2} - \frac{2}{3}x^{3/2}.
Avalio de 0 a 4:
  • Calculo F(4):
4^{2}=16,\qquad 2\cdot4=8\quad\Rightarrow\quad 16+8=24.
4^{5/2}=(4^{1/2})^{5}=2^{5}=32\quad\Rightarrow\quad \frac{2}{5}\cdot 32=\frac{64}{5}.
4^{3/2}=(4^{1/2})^{3}=2^{3}=8\quad\Rightarrow\quad \frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}.
Então
F(4)=24-\frac{64}{5}-\frac{16}{3}.
  • Calculo F(0)=0 (todos os termos nulos em x=0).
  • Subtraindo:
\int_{0}^{4}\bigl(2x+2 - x^{3/2} - x^{1/2}\bigr)\,dx = 24-\frac{64}{5}-\frac{16}{3}.
Faço a combinação das frações com denominador comum 15:
24=\frac{360}{15},\quad \frac{64}{5}=\frac{192}{15},\quad \frac{16}{3}=\frac{80}{15},
24-\frac{64}{5}-\frac{16}{3}=\frac{360-192-80}{15}=\frac{88}{15}.
Então o integral vale \dfrac{88}{15}.

Passo 6

Multiplico pelo fator exterior 2\pi para obter o volume final:
V = 2\pi\cdot\frac{88}{15} = \frac{176\pi}{15}.
Interpretação rápida: esse é o volume exato do sólido de revolução; se quiser uma aproximação numérica, \dfrac{176\pi}{15}\approx 36{,}86 (unidades cúbicas), mas a forma fracionária com \pi é a resposta exata.

Resposta

\displaystyle V=\frac{176\pi}{15}

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