A região
é limitada por
A região gira em torno da reta
Use o método das cascas cilíndricas
Passo 1
O enunciado dá a região
limitada por
e pede o volume gerado quando
gira em torno da reta
usando o método das cascas cilíndricas.
Informações úteis extraídas do enunciado:
Informações úteis extraídas do enunciado:
- A curva
equivale a e intersecta em , pois . - A região
corresponde ao conjunto . - O eixo de rotação é a reta vertical
.
O que se pede: calcular o volume do sólido de revolução obtido porao girar em torno de , aplicando o método das cascas cilíndricas.
Passo 2
Por que usar cascas cilíndricas aqui (explicação didática e intuitiva, sem entrar em jargões):
- O eixo de rotação é uma reta vertical (
). Para eixos verticais é natural tomar retângulos verticais (fatias verticais) e girá-los: cada fatia gera uma casca cilíndrica. - Então escolhemos uma fatia vertical localizada em uma abscissa genérica
, com espessura .
Definição e fórmula básica do método das cascas cilíndricas (aula curtinha): se um retângulo vertical de alturae situado a distância do eixo de rotação é girado em torno desse eixo, a casca gerada tem volume aproximado
O volume total é obtido integrando
sobre os
que cobrem a região.
Passo 3
Escolha da fatia típica e identificação de
e
:
- Tomamos uma fatia vertical em posição
com . - A altura da fatia é a diferença entre a curva superior
e a curva inferior , logo
- A distância radial desde a fatia até o eixo
é a diferença horizontal entre e , logo
- A espessura da fatia é
.
Portanto a contribuição infinitesimal de volume é
Passo 4
Montagem do integral de volume com os limites de integração:
- As fatias variam em
de até . - Assim o volume total é
Faço uma expansão do integrando para integrar termo a termo:
Logo
Passo 5
Integração passo a passo (regra da potência e avaliação nos limites):
- Usando a regra da potência:
para .
Encontro as antiderivadas:
Portanto a primitiva do integrando é
Avalio de
a
:
- Calculo
:
Então
- Calculo
(todos os termos nulos em ). - Subtraindo:
Faço a combinação das frações com denominador comum
:
Então o integral vale
.
Passo 6
Multiplico pelo fator exterior
para obter o volume final:
Interpretação rápida: esse é o volume exato do sólido de revolução; se quiser uma aproximação numérica,
(unidades cúbicas), mas a forma fracionária com
é a resposta exata.