e pede o volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta
x=-1
Usar o método dos discos (anéis). O objetivo final é calcular o volume numérico do sólido de revolução.
Informações importantes que temos:
A fronteira direita da região é y=\sqrt{x}, que invertida dá x=y^{2}.
A fronteira esquerda é x=0.
A fronteira superior é y=2.
A reta de rotação é vertical: x=-1.
Passo 2
Escolha da variável de integração e ideia do método dos anéis.
Porque a reta de rotação é vertical (x=-1), as seções transversais perpendiculares ao eixo de rotação são cortes horizontais? Na verdade, para discos/anéis queremos fatias perpendiculares ao eixo de rotação. O eixo é vertical, portanto as fatias devem ser horizontais — isto é, integraremos em y.
Explicação do método dos anéis (discos com furo):
Para um valor fixo de y consideramos a fatia horizontal da região. Ao girá-la em torno de x=-1 forma-se um anel (um disco com furo).
onde R_{\text{externo}} é a distância do eixo de rotação ao ponto mais à direita da região para aquele y, e R_{\text{interno}} é a distância do eixo de rotação ao ponto mais à esquerda da região para aquele y.
Passo 3
Determinar o intervalo de integração em y.
A região tem topo em y=2. O ponto inferior da região é a interseção entre x=0 e y=\sqrt{x}. Substituindo x=0 em y=\sqrt{x} obtemos y=0. Portanto
0\le y\le 2.
Passo 4
Determinar as expressões de R_{\text{externo}} e R_{\text{interno}}.
Para um dado y a abscissa da fronteira direita é x=y^{2} (peguei isto invertendo y=\sqrt{x}).
A fronteira esquerda tem x=0 (peguei isto do enunciado).
A distância de um ponto de abscissa x até a reta x=-1 é x-(-1)=x+1.
Logo:
R_{\text{externo}}=\text{distância de }x=y^{2}\text{ até }x=-1 = y^{2}+1,
R_{\text{interno}}=\text{distância de }x=0\text{ até }x=-1 = 0+1=1.
Passo 5
Escrever a integral do volume.
Usando dV=\pi\bigl(R_{\text{externo}}^{2}-R_{\text{interno}}^{2}\bigr)\,dy e os raios acima: