A região R é limitada por
y=\sqrt{x}, \quad y=2, \quad x=0 .
A região gira em torno da reta
x=-1 .
Use o método dos discos (anéis)

Passo 1

O enunciado dá a região R limitada por
y=\sqrt{x},\qquad y=2,\qquad x=0
e pede o volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta
x=-1
Usar o método dos discos (anéis). O objetivo final é calcular o volume numérico do sólido de revolução.
Informações importantes que temos:
  • A fronteira direita da região é y=\sqrt{x}, que invertida dá x=y^{2}.
  • A fronteira esquerda é x=0.
  • A fronteira superior é y=2.
  • A reta de rotação é vertical: x=-1.

Passo 2

Escolha da variável de integração e ideia do método dos anéis.
Porque a reta de rotação é vertical ( x=-1), as seções transversais perpendiculares ao eixo de rotação são cortes horizontais? Na verdade, para discos/anéis queremos fatias perpendiculares ao eixo de rotação. O eixo é vertical, portanto as fatias devem ser horizontais — isto é, integraremos em y.
Explicação do método dos anéis (discos com furo):
  • Para um valor fixo de y consideramos a fatia horizontal da região. Ao girá-la em torno de x=-1 forma-se um anel (um disco com furo).
  • O volume elementar dessa fatia é:
dV=\pi\bigl(R_{\text{externo}}^{2}-R_{\text{interno}}^{2}\bigr)\,dy,
onde R_{\text{externo}} é a distância do eixo de rotação ao ponto mais à direita da região para aquele y, e R_{\text{interno}} é a distância do eixo de rotação ao ponto mais à esquerda da região para aquele y.

Passo 3

Determinar o intervalo de integração em y.
A região tem topo em y=2. O ponto inferior da região é a interseção entre x=0 e y=\sqrt{x}. Substituindo x=0 em y=\sqrt{x} obtemos y=0. Portanto
0\le y\le 2.

Passo 4

Determinar as expressões de R_{\text{externo}} e R_{\text{interno}}.
  • Para um dado y a abscissa da fronteira direita é x=y^{2} (peguei isto invertendo y=\sqrt{x}).
  • A fronteira esquerda tem x=0 (peguei isto do enunciado).
  • A distância de um ponto de abscissa x até a reta x=-1 é x-(-1)=x+1.
Logo:
R_{\text{externo}}=\text{distância de }x=y^{2}\text{ até }x=-1 = y^{2}+1,âé
R_{\text{interno}}=\text{distância de }x=0\text{ até }x=-1 = 0+1=1.âé

Passo 5

Escrever a integral do volume.
Usando dV=\pi\bigl(R_{\text{externo}}^{2}-R_{\text{interno}}^{2}\bigr)\,dy e os raios acima:
V=\int_{y=0}^{y=2}\pi\Bigl((y^{2}+1)^{2}-1^{2}\Bigr)\,dy.
Simplifico o integrando:
(y^{2}+1)^{2}-1=(y^{4}+2y^{2}+1)-1=y^{4}+2y^{2}.
Portanto
V=\pi\int_{0}^{2}\bigl(y^{4}+2y^{2}\bigr)\,dy.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo (regra da potência).
Regra que vou usar: para n\neq-1,
\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}.
Aplicando termo a termo:
\int_{0}^{2}y^{4}\,dy=\left.\frac{y^{5}}{5}\right|_{0}^{2}=\frac{2^{5}}{5}-0=\frac{32}{5},
\int_{0}^{2}2y^{2}\,dy=2\left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{2}=2\cdot\frac{8}{3}=\frac{16}{3}.
Somando e multiplicando por \pi:
V=\pi\left(\frac{32}{5}+\frac{16}{3}\right).
Coloco em denominar comum 15:
\frac{32}{5}=\frac{96}{15},\qquad \frac{16}{3}=\frac{80}{15},
\frac{96}{15}+\frac{80}{15}=\frac{176}{15}.
Portanto
V=\frac{176}{15}\pi.
Se quiser uma aproximação numérica rápida:
V\approx \frac{176}{15}\cdot 3{,}14159\approx 36{,}85.

Resposta

\dfrac{176}{15}\pi

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