Calcule os seguintes limites, caso existam.
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
onde
.
Ou seja, dado fixo, queremos o valor do quociente incremental de
quando
tende a zero.
Ou seja, dado
Passo 2
Esse limite é exatamente a definição do derivada de
em
:
Aqui vamos calcular esse limite para
usando identidades trigonométricas e limites trigonométricos básicos.
Passo 3
Usamos a identidade trigonométrica de diferença:
Aplicando com
e
obtemos
Passo 4
Substituindo na diferença dividida por
:
Reescrevendo o fator com
:
Portanto
Passo 5
Agora vamos estudar os limites de cada fator quando
.
Primeiro, a função
é contínua em todo ponto, então
Isto é intuitivo: ao fazer
pequeno,
fica perto de
, e o cosseno varia de forma contínua.
Passo 6
Falta a peça-chave clássica:
Explico uma demonstração simples (teoria necessária para este exercício):
Para
vale geometricamente (ou usando desigualdades trigonométricas)
Como
quando
, pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) segue que
Para
negativo a razão é par em módulo (isto é,
e o limite simétrico dá o mesmo resultado), então o limite existe e vale
.
Passo 7
Aplicando com
obtemos
Multiplicando os limites (produto de limites):
Passo 8
Conclusão: o limite existe para todo
e vale
. Em linguagem de derivadas: a derivada de
é
.