Calcule os seguintes limites, caso existam.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde f(x)=\operatorname{sen}(x).

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
onde f(x)=\operatorname{sen}(x).
Ou seja, dado x fixo, queremos o valor do quociente incremental de \operatorname{sen} quando h tende a zero.

Passo 2

Esse limite é exatamente a definição do derivada de f em x:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui vamos calcular esse limite para f(x)=\operatorname{sen}(x) usando identidades trigonométricas e limites trigonométricos básicos.

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica de diferença:
\operatorname{sen}(A)-\operatorname{sen}(B)=2\cos\!\bigg(\frac{A+B}{2}\bigg)\operatorname{sen}\!\bigg(\frac{A-B}{2}\bigg).
Aplicando com A=x+h e B=x obtemos
\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)=2\cos\!\bigg(x+\frac{h}{2}\bigg)\operatorname{sen}\!\bigg(\frac{h}{2}\bigg).

Passo 4

Substituindo na diferença dividida por h:
\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)}{h} =2\cos\!\bigg(x+\frac{h}{2}\bigg)\cdot\frac{\operatorname{sen}\!\big(\frac{h}{2}\big)}{h}.
Reescrevendo o fator com h:
\frac{\operatorname{sen}\!\big(\frac{h}{2}\big)}{h} =\frac{\operatorname{sen}\!\big(\frac{h}{2}\big)}{\frac{h}{2}}\cdot\frac{1}{2}.
Portanto
\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)}{h} =\cos\!\bigg(x+\frac{h}{2}\bigg)\cdot\frac{\operatorname{sen}\!\big(\frac{h}{2}\big)}{\frac{h}{2}}.

Passo 5

Agora vamos estudar os limites de cada fator quando h\to 0.
Primeiro, a função \cos é contínua em todo ponto, então
\lim_{h\to 0}\cos\!\bigg(x+\frac{h}{2}\bigg)=\cos(x).
Isto é intuitivo: ao fazer h pequeno, x+\tfrac{h}{2} fica perto de x, e o cosseno varia de forma contínua.

Passo 6

Falta a peça-chave clássica:
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.
Explico uma demonstração simples (teoria necessária para este exercício):
Para 0<u<\tfrac{\pi}{2} vale geometricamente (ou usando desigualdades trigonométricas)
\cos u < \frac{\operatorname{sen} u}{u} < 1.
Como \cos u\to 1 quando u\to 0, pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) segue que
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.
Para u negativo a razão é par em módulo (isto é, \operatorname{sen}(-u)=-\operatorname{sen}u e o limite simétrico dá o mesmo resultado), então o limite existe e vale 1.

Passo 7

Aplicando com u=\tfrac{h}{2} obtemos
\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}\!\big(\frac{h}{2}\big)}{\frac{h}{2}}=1.
Multiplicando os limites (produto de limites):
\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)}{h} =\Big(\lim_{h\to 0}\cos\!\big(x+\tfrac{h}{2}\big)\Big)\cdot \Big(\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}\!\big(\frac{h}{2}\big)}{\frac{h}{2}}\Big) =\cos(x)\cdot 1.

Passo 8

Conclusão: o limite existe para todo x e vale \cos(x). Em linguagem de derivadas: a derivada de \operatorname{sen}(x) é \cos(x).

Resposta

\cos(x)

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