- Regiões Deslocadas e Anéis Circulares
Escreva a integral dupla correspondente em coordenadas polares e calcule:
- b)
, onde
é o anel circular definido por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é o anel circular definido por
Informações relevantes dadas:
- A região
é um anel (região entre dois círculos concêntricos) com raio interno e raio externo . - A função a integrar é
.
Passo 2
Vamos trocar para coordenadas polares. Lembre-se das relações fundamentais entre cartesianas e polares:
Também é essencial saber como o elemento de área
se transforma: em coordenadas polares
Explicação intuitiva do fator
: um pequeno retângulo em polares tem comprimento radial
e comprimento angular aproximadamente
; a área desse retângulo é
. Por isso aparece o fator
(o jacobiano da transformação).
Passo 3
Convertemos a função que aparece na integral usando
:
Ao multiplicar pelo elemento de área em polares temos o integrando efetivo:
Ou seja, na forma polar a função vezes
simplifica para
.
Passo 4
Agora os limites da região
. A condição
em polares fica
Como o anel cobre toda a volta, o ângulo percorre a volta completa:
Passo 5
Escrevendo a integral dupla em coordenadas polares com os limites encontrados:
Aqui já usamos que
.
Passo 6
Calcule a integral interna em
:
Portanto a integral reduz-se a
Passo 7
Calcule a integral em
:
Portanto o valor da integral é
. Vai dar tudo certo na prova — lembre que a simplificação do integrando veio exatamente do fator
do elemento de área.