1. Regiões Deslocadas e Anéis Circulares
Escreva a integral dupla correspondente em coordenadas polares e calcule:
  • b) \iint_{R}\left(1 / \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d A, onde R é o anel circular definido por 4 \leq x^{2}+y^{2} \leq 16.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dA,
onde a região R é o anel circular definido por
4 \le x^{2}+y^{2} \le 16.
Informações relevantes dadas:
  • A região R é um anel (região entre dois círculos concêntricos) com raio interno \sqrt{4} e raio externo \sqrt{16}.
  • A função a integrar é f(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 2

Vamos trocar para coordenadas polares. Lembre-se das relações fundamentais entre cartesianas e polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Também é essencial saber como o elemento de área dA se transforma: em coordenadas polares
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação intuitiva do fator r: um pequeno retângulo em polares tem comprimento radial dr e comprimento angular aproximadamente r\,d\theta; a área desse retângulo é r\,dr\,d\theta. Por isso aparece o fator r (o jacobiano da transformação).

Passo 3

Convertemos a função que aparece na integral usando r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}:
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{1}{r}.
Ao multiplicar pelo elemento de área em polares temos o integrando efetivo:
\frac{1}{r}\cdot r = 1.
Ou seja, na forma polar a função vezes dA simplifica para 1\,dr\,d\theta.

Passo 4

Agora os limites da região R. A condição 4 \le x^{2}+y^{2} \le 16 em polares fica
4 \le r^{2} \le 16 \quad\Longrightarrow\quad 2 \le r \le 4.
Como o anel cobre toda a volta, o ângulo percorre a volta completa:
0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 5

Escrevendo a integral dupla em coordenadas polares com os limites encontrados:
\iint_{R}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{4} 1\,dr\,d\theta.
Aqui já usamos que \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dA=\dfrac{1}{r}\cdot r\,dr\,d\theta=1\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcule a integral interna em r:
\int_{2}^{4}1\,dr=\bigl[r\bigr]_{2}^{4}=4-2=2.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi} 2\,d\theta.

Passo 7

Calcule a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}2\,d\theta = 2\bigl[\theta\bigr]_{0}^{2\pi} = 2\cdot(2\pi)=4\pi.
Portanto o valor da integral é 4\pi. Vai dar tudo certo na prova — lembre que a simplificação do integrando veio exatamente do fator r do elemento de área.

Resposta

\,4\pi

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