- Regiões Deslocadas e Anéis Circulares
Escreva a integral dupla correspondente em coordenadas polares e calcule:
- c)
, onde
é o quarto de disco
, no primeiro quadrante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o quarto de disco
, no primeiro quadrante. Informações relevantes dadas:
- A região
é o conjunto de pontos com , com e (ou seja, raio até e ângulo no primeiro quadrante). - A integranda depende apenas de
. - Não há imagens adicionais.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares? Quando a integranda depende de
e a região é circular, coordenadas polares deixam a integral muito mais simples. As fórmulas de conversão são:
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo. Além disso, o elemento de área cartesiano
transforma-se em polares como
Explicando: o fator extra
é o jacobiano da transformação; ele aparece porque pequenas áreas em coordenadas polares têm dimensão ~
em uma direção e
na outra.
Passo 3
Determinar os limites em polares para
. Como
é o quarto de disco de raio
no primeiro quadrante:
-
varia de até . -
varia de até .
Portanto os limites sãoe .
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas polares. Primeiro note que
logo a integranda fica
. Substituindo também
, a integral dupla vira
Passo 5
Calcular a integral interna em
:
Fazer a substituição
. Então
, isto é
. Quando
tem
; quando
tem
. A integral transforma-se em
Aqui usei que
.
Passo 6
Avaliar a integral em
. A primitiva de
é
. Logo
Sabendo que
e
, obtemos
Passo 7
Agora integrar em
. A integral total é