1. Regiões Deslocadas e Anéis Circulares
Escreva a integral dupla correspondente em coordenadas polares e calcule:
  • c) \iint_{R}\left[1 /\left(1+\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\right)\right] d A, onde R é o quarto de disco x^{2}+y^{2} \leq 1, no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\frac{1}{1+\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\,dA,
onde R é o quarto de disco \,x^{2}+y^{2}\le 1, no primeiro quadrante. Informações relevantes dadas:
  • A região R é o conjunto de pontos com x^{2}+y^{2}\le 1, com x\ge 0 e y\ge 0 (ou seja, raio até 1 e ângulo no primeiro quadrante).
  • A integranda depende apenas de x^{2}+y^{2}.
  • Não há imagens adicionais.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares? Quando a integranda depende de x^{2}+y^{2} e a região é circular, coordenadas polares deixam a integral muito mais simples. As fórmulas de conversão são:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. Além disso, o elemento de área cartesiano dA transforma-se em polares como
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicando: o fator extra r é o jacobiano da transformação; ele aparece porque pequenas áreas em coordenadas polares têm dimensão ~ r\,d\theta em uma direção e dr na outra.

Passo 3

Determinar os limites em polares para R. Como R é o quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante:
  • r varia de 0 até 1.
  • \theta varia de 0 até \tfrac{\pi}{2}.
    Portanto os limites são 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le \tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas polares. Primeiro note que
x^{2}+y^{2}=r^{2},
logo a integranda fica \dfrac{1}{1+r^{4}}. Substituindo também dA=r\,dr\,d\theta, a integral dupla vira
\iint_{R}\frac{1}{1+\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1}\frac{1}{1+r^{4}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r:
\int_{0}^{1}\frac{r}{1+r^{4}}\,dr.
Fazer a substituição u=r^{2}. Então du=2r\,dr, isto é r\,dr=\dfrac{du}{2}. Quando r=0 tem u=0; quando r=1 tem u=1. A integral transforma-se em
\int_{0}^{1}\frac{r}{1+r^{4}}\,dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{1+u^{2}}\,du.
Aqui usei que r^{4}=(r^{2})^{2}=u^{2}.

Passo 6

Avaliar a integral em u. A primitiva de \dfrac{1}{1+u^{2}} é \arctan u. Logo
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{1+u^{2}}\,du = \frac{1}{2}\bigl[\arctan u\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\bigl(\arctan 1 - \arctan 0\bigr).
Sabendo que \arctan 1=\dfrac{\pi}{4} e \arctan 0=0, obtemos
\int_{0}^{1}\frac{r}{1+r^{4}}\,dr = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}.

Passo 7

Agora integrar em \theta. A integral total é
\int_{0}^{\pi/2}\left(\int_{0}^{1}\frac{r}{1+r^{4}}\,dr\right)\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\frac{\pi}{8}\,d\theta = \frac{\pi}{8}\left[\theta\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{8}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi^{2}}{16}.

Resposta

\dfrac{\pi^{2}}{16}

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