1. Mudança de Coordenadas e Cálculo Direto
Reescreva as integrais abaixo em coordenadas polares e, em seguida, calcule o seu valor:
  • a) \iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} d A, onde R é o disco x^{2}+y^{2} \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\,dA,
onde R é o disco \;x^{2}+y^{2}\le 1. A tarefa é reescrever essa integral em coordenadas polares e calcular o seu valor. Informações importantes fornecidas:
  • A região R é o disco de raio 1 centrado na origem.
  • A integranda é \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}.

Passo 2

Mudança para coordenadas polares. As relações entre coordenadas cartesianas e polares são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. O elemento de área em coordenadas polares vale
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação curta do porquê de dA=r\,dr\,d\theta: um pedaço de região com variações dr e d\theta tem forma aproximadamente retangular com lados dr e r\,d\theta, então a área aproximada é dr\cdot (r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. (Formalmente isso vem do determinante Jacobiano da transformação.)

Passo 3

Reescrever a integranda em termos de r. Observa-se que
x^{2}+y^{2}=r^{2},
então
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=r^{4}.
Como R é o disco de raio 1, os limites polares são 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi. Assim a integral fica
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{4}\cdot r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{5}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcular a integral interna em r. A primitiva de r^{5} é \dfrac{r^{6}}{6}. Portanto,
\int_{0}^{1} r^{5}\,dr = \left.\dfrac{r^{6}}{6}\right|_{0}^{1} = \dfrac{1}{6}.

Passo 5

Substituir o resultado na integral em \theta e calcular:
\int_{0}^{2\pi}\left(\dfrac{1}{6}\right)\,d\theta = \dfrac{1}{6}\int_{0}^{2\pi} d\theta = \dfrac{1}{6}\cdot 2\pi = \dfrac{2\pi}{6}.

Resposta

\dfrac{\pi}{3}

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