Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
18.
f(t)=\operatorname{tg}\left(t^{2}\right) \cdot \ln (2 t+x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t)=\operatorname{tg}\bigl(t^{2}\bigr)\,\ln\bigl(2t + x\bigr)
em relação a t. O conteúdo principal é aplicação da regra do produto e da regra da cadeia, pois temos o produto de duas funções de t, além de composições.

Passo 2

Definimos
u(t)=\operatorname{tg}\bigl(t^{2}\bigr), \quad v(t)=\ln\bigl(2t + x\bigr).
Pela regra do produto,
f'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).

Passo 3

Calculamos u'(t) usando a regra da cadeia: a derivada de \operatorname{tg}(w) é \operatorname{sec}^{2}(w)\,w'. Aqui w=t^{2}, logo w'=2t. Assim,
u'(t) =\operatorname{sec}^{2}\bigl(t^{2}\bigr)\cdot 2t =2t\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(t^{2}\bigr).
Em seguida, v'(t) vem de \ln(w) com w=2t+x, cujo derivado é w'/w=2/(2t+x). Então,
v'(t)=\frac{2}{2t+x}.

Passo 4

Substituindo em f'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t), obtemos
f'(t) =2t\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(t^{2}\bigr)\,\ln\bigl(2t + x\bigr) +\operatorname{tg}\bigl(t^{2}\bigr)\,\frac{2}{2t+x}.

Resposta

f'(t) =2t\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(t^{2}\bigr)\,\ln\bigl(2t + x\bigr) +\frac{2\,\operatorname{tg}\bigl(t^{2}\bigr)}{2t+x}.

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