Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
19.
f(x)=\operatorname{cosec}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{cosec}\!\bigl(u(x)\bigr)
com
u(x)=\frac{x+1}{x-1}.
O conteúdo aqui é a regra da cadeia: primeiro encontramos u'(x) e depois multiplicamos pela derivada de \operatorname{cosec}(v) em v=u(x).

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\frac{x+1}{x-1}.

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x) usando a regra do quociente:
u'(x) =\frac{(x-1)\cdot 1 - (x+1)\cdot 1}{(x-1)^2} =\frac{x-1 - x -1}{(x-1)^2} =\frac{-2}{(x-1)^2}.

Passo 4

Recordamos a derivada da função exterior g(v)=\operatorname{cosec}(v):
g'(v)=\frac{d}{dv}\bigl[\operatorname{cosec}(v)\bigr] =-\operatorname{cosec}(v)\,\cot(v).

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =-\operatorname{cosec}\bigl(u(x)\bigr)\,\cot\bigl(u(x)\bigr)\;\times\;\frac{-2}{(x-1)^2}.
Os sinais negativos se cancelam:

Resposta

f'(x) =\frac{2\,\operatorname{cosec}\!\bigl(\tfrac{x+1}{x-1}\bigr)\,\cot\!\bigl(\tfrac{x+1}{x-1}\bigr)}{(x-1)^2}.

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