Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
22.
f(x)=\operatorname{senh}\left(x^{2}+x^{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\operatorname{senh}\bigl(x^{2}+x^{4}\bigr).
O conteúdo principal aqui é a Regra da Cadeia aplicada à função hiperbólica \operatorname{senh}. Para resolver, vamos identificar as funções interna e externa e derivar cada uma delas.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=x^{2}+x^{4}
e a função externa
h(u)=\operatorname{senh}(u),
de modo que f(x)=h\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Derivamos a função externa em relação a u. Sabemos que
\frac{d}{du}\,\operatorname{senh}(u)=\operatorname{cosh}(u).

Passo 4

Derivamos a função interna em relação a x:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+x^{4}\bigr)=2x+4x^{3}.

Passo 5

Aplicamos a Regra da Cadeia:
f'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\operatorname{cosh}\bigl(u(x)\bigr)\,\bigl(2x+4x^{3}\bigr).
Substituindo u(x)=x^{2}+x^{4}, temos
f'(x)=\bigl(2x+4x^{3}\bigr)\operatorname{cosh}\bigl(x^{2}+x^{4}\bigr).

Resposta

f'(x)=\bigl(2x+4x^{3}\bigr)\operatorname{cosh}\bigl(x^{2}+x^{4}\bigr).

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