Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
23.
f(x)=\operatorname{cosh} \left(x^{2} \ln \left(x^{2}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{cosh}\bigl(x^{2}\ln(x^{2})\bigr)
em relação a x. Para resolver, vamos usar a Regra da Cadeia para funções compostas, além da Regra do Produto e da derivada de \ln.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=x^{2}\ln(x^{2}).
Pela Regra da Cadeia,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{cosh}(u(x))\bigr] =\operatorname{sinh}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x) usando Regra do Produto em u(x)=x^{2}\cdot\ln(x^{2}):
– derivada de x^{2} é 2x, mantendo \ln(x^{2});
– derivada de \ln(x^{2}) é \frac{1}{x^{2}}\cdot 2x=\frac{2}{x}, multiplicada por x^{2}.
Logo,
u'(x) =2x\ln(x^{2})+x^{2}\cdot\frac{2}{x} =2x\ln(x^{2})+2x =2x\bigl(\ln(x^{2})+1\bigr).

Resposta

f'(x) =2x\bigl(\ln(x^{2})+1\bigr)\,\operatorname{sinh}\bigl(x^{2}\ln(x^{2})\bigr).

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