Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
24.
f(x)=\operatorname{arcsen}\left(\frac{1}{2+x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\arcsin\!\bigl(\tfrac{1}{2+x}\bigr)
usando a regra da cadeia. Vamos precisar da derivada de \arcsin(u), que é
\frac{d}{du}\bigl[\arcsin(u)\bigr]=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}},
e da derivada de u(x)=\tfrac{1}{2+x}.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\frac{1}{2+x}.
Para derivar u(x) escrevemos u(x)=(2+x)^{-1} e aplicamos a regra do poder:
u'(x)=-1\,(2+x)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(2+x)=-\frac{1}{(2+x)^{2}}.

Passo 3

Agora aplicamos a derivada de \arcsin(u) em função de x. Pela cadeia,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[\arcsin\bigl(u(x)\bigr)\bigr] =\frac{u'(x)}{\sqrt{1-\bigl(u(x)\bigr)^2}}.

Passo 4

Substituímos u(x) e u'(x) na fórmula:
u(x)=\frac{1}{2+x}, \qquad u'(x)=-\frac{1}{(2+x)^2}.
Logo
f'(x) =\frac{-\frac{1}{(2+x)^2}}% {\sqrt{1-\bigl(\frac{1}{2+x}\bigr)^2}} =-\frac{1}{(2+x)^2\,\sqrt{1-\frac{1}{(2+x)^2}}}.

Passo 5

Se quiser, podemos simplificar a raiz:
\sqrt{1-\frac{1}{(2+x)^2}} =\sqrt{\frac{(2+x)^2-1}{(2+x)^2}} =\frac{\sqrt{(2+x)^2-1}}{|2+x|}.
Mas fica bom deixar na forma direta obtida.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{(2+x)^2\,\sqrt{1-\dfrac{1}{(2+x)^2}}}.

Exercícios relacionados