Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento
23.
f(x)=\operatorname{arcsen}\left(\frac{1}{2+x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \arcsin\!\bigl(u(x)\bigr)
com
u(x) = \frac{1}{2 + x}.
O conteúdo é a Regra da Cadeia: para f(x)=\arcsin(u(x)), usamos a derivada de \arcsin e depois multiplicamos por u'(x).

Passo 2

Derivada da função externa. Se F(v)=\arcsin(v), então
F'(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}}.

Passo 3

Derivada da função interna. Como
u(x) = (2 + x)^{-1},
temos
u'(x) = -1 \cdot (2 + x)^{-2} = -\frac{1}{(2 + x)^2}.

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia:
f'(x) = F'\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - \bigl(u(x)\bigr)^2}} \;\cdot\; \Bigl(-\frac{1}{(2 + x)^2}\Bigr).

Passo 5

Substituindo u(x)=1/(2 + x):
f'(x) = -\frac{1}{(2 + x)^2} \;\frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{1}{(2 + x)^2}}} = -\frac{1}{(2 + x)^2 \,\sqrt{1 - \dfrac{1}{(2 + x)^2}}}.

Resposta

f'(x) = -\frac{1}{(2 + x)^2 \,\sqrt{1 - \dfrac{1}{(2 + x)^2}}}.

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