Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento
24.
f(x)=\operatorname{arctg}\left(\frac{x^{2}}{2+x}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\operatorname{arctg}\!\bigl(\tfrac{x^{2}}{2+x}\bigr).
Aqui o conteúdo é regra da cadeia, pois temos f(x)=\operatorname{arctg}(u(x)). Para resolver, precisamos da derivada de \operatorname{arctg}(u) e da derivada de u(x)=\tfrac{x^{2}}{2+x} pela regra do quociente.

Passo 2

Definimos
u(x)=\frac{x^{2}}{2+x}.
Aplicando a regra do quociente, com p(x)=x^{2} e q(x)=2+x, temos p'=2x e q'=1, portanto
u'(x) =\frac{p'q - p\,q'}{q^{2}} =\frac{2x\,(2+x)-x^{2}\cdot1}{(2+x)^{2}} =\frac{4x+2x^{2}-x^{2}}{(2+x)^{2}} =\frac{x^{2}+4x}{(2+x)^{2}}.

Passo 3

A derivada de \operatorname{arctg}(u) é
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arctg}(u)\bigr] =\frac{u'(x)}{1+[u(x)]^{2}}.
Logo
f'(x) =\frac{\displaystyle\frac{x^{2}+4x}{(2+x)^{2}}} {1+\bigl(\frac{x^{2}}{2+x}\bigr)^{2}}.

Passo 4

Para simplificar, note que
1+\frac{x^{4}}{(2+x)^{2}} =\frac{(2+x)^{2}+x^{4}}{(2+x)^{2}}.
Substituindo, obtemos
f'(x) =\frac{\frac{x(x+4)}{(2+x)^{2}}} {\frac{(2+x)^{2}+x^{4}}{(2+x)^{2}}} =\frac{x(x+4)}{(2+x)^{2}+x^{4}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x(x+4)}{x^{4}+(x+2)^{2}}.

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