Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento
17.
f(t)=\operatorname{tg}\left(t^{2}\right) \cdot \ln (2 t+x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t)=\tan\bigl(t^{2}\bigr)\,\ln\bigl(2t+x\bigr)
em relação a t. Vamos usar a regra do produto (para duas funções de t) e, em cada derivada, a regra da cadeia quando for preciso.

Passo 2

Identificamos
u(t)=\tan\bigl(t^{2}\bigr) \quad\text{e}\quad v(t)=\ln\bigl(2t+x\bigr).
Pela regra do produto,
f'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).

Passo 3

Calculamos u'(t). Usando regra da cadeia em \tan\bigl(t^{2}\bigr):
u'(t) =\operatorname{sec}^{2}\bigl(t^{2}\bigr)\,\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr) =\operatorname{sec}^{2}\bigl(t^{2}\bigr)\cdot 2t.

Passo 4

Calculamos v'(t). Como v(t)=\ln\bigl(2t+x\bigr),
v'(t) =\frac{1}{2t+x}\,\frac{d}{dt}\bigl(2t+x\bigr) =\frac{1}{2t+x}\cdot 2 =\frac{2}{2t+x}.

Passo 5

Substituindo u' e v' na regra do produto:
f'(t) =\bigl(2t\,\operatorname{sec}^{2}(t^{2})\bigr)\,\ln(2t+x) +\tan\bigl(t^{2}\bigr)\,\frac{2}{2t+x}.

Resposta

f'(t) =2t\;\operatorname{sec}^{2}\bigl(t^{2}\bigr)\,\ln\bigl(2t+x\bigr) \;+\;\frac{2\,\tan\bigl(t^{2}\bigr)}{2t+x}.

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