Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
25.
f(x)=\operatorname{arctg}\left(\frac{x^{2}}{2+x}\right)

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=\arctan\!\bigl(\tfrac{x^2}{2+x}\bigr)
e pede f'(x). Aqui vamos usar a regra da cadeia para \arctan(u) e, dentro dela, a regra do quociente para u(x)=\frac{x^2}{2+x}.

Passo 2

Defina
g(x)=\frac{x^2}{2+x}.
Para g'(x) usamos a regra do quociente:
g'(x) =\frac{(x^2)'\,(2+x)-x^2\,(2+x)'}{(2+x)^2} =\frac{2x(2+x)-x^2\cdot1}{(2+x)^2} =\frac{4x+2x^2-x^2}{(2+x)^2} =\frac{x(4+x)}{(2+x)^2}.

Passo 3

Agora aplicamos a derivada de \arctan(u), que é
\frac{d}{dx}\bigl[\arctan(u)\bigr] =\frac{u'}{1+u^2}.
Logo,
f'(x) =\frac{g'(x)}{1+\bigl(g(x)\bigr)^2} =\frac{\displaystyle\frac{x(4+x)}{(2+x)^2}}{1+\displaystyle\Bigl(\frac{x^2}{2+x}\Bigr)^{2}}.

Passo 4

Para simplificar, note que
1+\Bigl(\tfrac{x^2}{2+x}\Bigr)^2 =\frac{(2+x)^2+x^4}{(2+x)^2}.
Substituindo:
f'(x) =\frac{\frac{x(4+x)}{(2+x)^2}}{\frac{(2+x)^2+x^4}{(2+x)^2}} =\frac{x(4+x)}{(2+x)^2+x^4}.

Resposta

f'(x)=\frac{x(x+4)}{(2+x)^2+x^4}.

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