A Regra da Cadeia pode ser usada repetidamente. Se y é função de u, u é função de x, e x é função de t, a regra fica dy/dt = dy/du * du/dx * dx/dt. Sabendo disso, calcule a derivada de y = raiz(1 + tan^2(cos(x))).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada de . Isso envolve cálculo de derivadas usando a Regra da Cadeia, que é como uma ferramenta para derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Então, vamos precisar entender como cada parte dessa função se relaciona para aplicar a regra certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que estão “dentro” umas das outras. Aqui, temos:
  • y é uma função de , onde
  • v é uma função de , onde
Então, a gente vai precisar derivar cada uma dessas partes passo a passo.

Passo 3

Vamos começar derivando em relação a . A derivada de é . Isso porque, de forma geral, a derivada de é .

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . A derivada de é . Então:

Passo 5

Em seguida, derivamos em relação a . A derivada de é :

Passo 6

Agora, aplicando a Regra da Cadeia, multiplicamos todas essas derivadas juntas para encontrar :
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 7

Simplificando essa expressão, os 2 do numerador e denominador cancelam:
Lembrando que e , podemos substituir de volta:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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