(Regra da cadeia) Seja u(x, y)=x^{2}+y^{2} \operatorname{com} x=r \cos \theta e y=r \sin \theta. Calcule \frac{\partial u}{\partial r} e \frac{\partial u}{\partial \theta}.

Passo 1

O enunciado dá a função \,u(x,y)=x^{2}+y^{2}\, e as relações \,x=r\cos\theta e \,y=r\sin\theta.
O que é pedido: calcular as derivadas parciais \displaystyle \frac{\partial u}{\partial r} e \displaystyle \frac{\partial u}{\partial \theta}.
Informações relevantes: a expressão explícita de u em termos de x e y e as fórmulas que ligam (x,y) com (r,\theta).

Passo 2

Ideia geral ( regra da cadeia para derivadas parciais ).
Se u depende de x e y, que por sua vez dependem de r e \theta, então as derivadas parciais de u em relação a r e \theta são dadas por:
\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial r},
\frac{\partial u}{\partial \theta} = \frac{\partial u}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial \theta}.
Aqui \frac{\partial u}{\partial x} e \frac{\partial u}{\partial y} são as derivadas parciais de u vistas como função de (x,y); \frac{\partial x}{\partial r},\frac{\partial x}{\partial \theta},\dots são as derivadas parciais das transformações x(r,\theta),y(r,\theta). Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calcular \frac{\partial u}{\partial x} e \frac{\partial u}{\partial y} a partir de \,u(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Regra usada: ao diferenciar em relação a x tratamos y como constante, e vice-versa.
\frac{\partial u}{\partial x}=2x, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=2y.
Explicação curta: derivada de x^{2} em relação a x é 2x; y^{2} é constante quando derivamos em relação a x.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a r e \theta usando \,x=r\cos\theta e \,y=r\sin\theta.
Derivando em relação a r (tratando \theta como constante):
\frac{\partial x}{\partial r}=\cos\theta, \qquad \frac{\partial y}{\partial r}=\sin\theta.
Derivando em relação a \theta (tratando r como constante):
\frac{\partial x}{\partial \theta}=-r\sin\theta, \qquad \frac{\partial y}{\partial \theta}=r\cos\theta.
Explicação: para x=r\cos\theta, derivada em r é \cos\theta; derivada em \theta usa a derivada de \cos\theta, que é -\sin\theta, multiplicada por r.

Passo 5

Agora aplico a fórmula da cadeia para \displaystyle \frac{\partial u}{\partial r}. Substituindo \frac{\partial u}{\partial x}=2x, \frac{\partial u}{\partial y}=2y, \frac{\partial x}{\partial r}=\cos\theta, \frac{\partial y}{\partial r}=\sin\theta:
\frac{\partial u}{\partial r} = 2x\cos\theta + 2y\sin\theta.
Isso ainda está em termos de x e y; vamos agora escrever em termos de r e \theta usando x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.

Passo 6

Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta em \,2x\cos\theta + 2y\sin\theta:
\frac{\partial u}{\partial r} = 2(r\cos\theta)\cos\theta + 2(r\sin\theta)\sin\theta = 2r(\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta).
Usando a identidade trigonométrica \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, obtemos
\frac{\partial u}{\partial r}=2r.

Passo 7

Agora calculo \displaystyle \frac{\partial u}{\partial \theta} pela regra da cadeia. Substituindo \frac{\partial u}{\partial x}=2x, \frac{\partial u}{\partial y}=2y, \frac{\partial x}{\partial \theta}=-r\sin\theta, \frac{\partial y}{\partial \theta}=r\cos\theta:
\frac{\partial u}{\partial \theta} = 2x(-r\sin\theta) + 2y(r\cos\theta) = 2r\big(-x\sin\theta + y\cos\theta\big).
Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta dentro do parêntese:
-x\sin\theta + y\cos\theta = -(r\cos\theta)\sin\theta + (r\sin\theta)\cos\theta = 0.
Portanto
\frac{\partial u}{\partial \theta}=0.

Passo 8

Interpretação curta e verificação alternativa: como u=x^{2}+y^{2} e com a substituição polar temos \,u(r,\theta)=r^{2} (pois x^{2}+y^{2}=(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}=r^{2}). A partir daqui é imediato que \frac{\partial u}{\partial r}=2r e \frac{\partial u}{\partial \theta}=0, o que confirma os resultados obtidos pela regra da cadeia.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r}=2r\n \displaystyle \frac{\partial u}{\partial \theta}=0

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