(Regra da cadeia) Seja
e
. Calcule
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e as relações
e
.
O que é pedido: calcular as derivadas parciais e
.
Informações relevantes: a expressão explícita de em termos de
e
e as fórmulas que ligam
com
.
O que é pedido: calcular as derivadas parciais
Informações relevantes: a expressão explícita de
Passo 2
Ideia geral ( regra da cadeia para derivadas parciais ).
Se depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
, então as derivadas parciais de
em relação a
e
são dadas por:
Se
Aqui
e
são as derivadas parciais de
vistas como função de
;
são as derivadas parciais das transformações
. Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Calcular
e
a partir de
.
Regra usada: ao diferenciar em relação a tratamos
como constante, e vice-versa.
Regra usada: ao diferenciar em relação a
Explicação curta: derivada de
em relação a
é
;
é constante quando derivamos em relação a
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
usando
e
.
Derivando em relação a (tratando
como constante):
Derivando em relação a
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Explicação: para
, derivada em
é
; derivada em
usa a derivada de
, que é
, multiplicada por
.
Passo 5
Agora aplico a fórmula da cadeia para
. Substituindo
,
,
,
:
Isso ainda está em termos de
e
; vamos agora escrever em termos de
e
usando
e
.
Passo 6
Substituindo
e
em
:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Passo 7
Agora calculo
pela regra da cadeia. Substituindo
,
,
,
:
Substituindo
e
dentro do parêntese:
Portanto
Passo 8
Interpretação curta e verificação alternativa: como
e com a substituição polar temos
(pois
). A partir daqui é imediato que
e
, o que confirma os resultados obtidos pela regra da cadeia.