Seja
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função é definida em pares
. - Queremos o vetor gradiente
no ponto genérico .
Passo 2
Primeiro, o que é o gradiente? O gradiente de uma função de duas variáveis
é o vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a cada variável. Em notação:
Aqui
significa “derivar
em relação a
mantendo
fixo” e
significa “derivar
em relação a
mantendo
fixo”. Vou calcular cada uma passo a passo.
Passo 3
Calcular
. Começo com a expressão dada:
Ao derivar em relação a
, tratamos
como constante. A derivada de
em relação a
é
. A derivada de
em relação a
é
porque não depende de
. Logo:
Passo 4
Calcular
. Agora derivamos em relação a
, mantendo
fixo. A derivada de
em relação a
é
(não depende de
). A derivada de
em relação a
é
. Portanto:
Passo 5
Agora juntamos as duas derivadas parciais no vetor gradiente. Assim:
Interpretando rapidinho (só para dar intuição): esse vetor aponta na direção de maior aumento de
no ponto
, e suas componentes mostram quanto
cresce se a gente variar
ou
separadamente. Exemplo numérico: em
temos
.