Seja f(x, y)=x^{2}+3 y^{2}.
Calcule \nabla f(x, y).

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x,y)=x^{2}+3y^{2}\; e pede para calcular \;\nabla f(x,y)\;.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função é definida em pares (x,y).
  • Queremos o vetor gradiente \nabla f(x,y) no ponto genérico (x,y).

Passo 2

Primeiro, o que é o gradiente? O gradiente de uma função de duas variáveis \;f(x,y)\; é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a cada variável. Em notação:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} significa “derivar f em relação a x mantendo y fixo” e \frac{\partial f}{\partial y} significa “derivar f em relação a y mantendo x fixo”. Vou calcular cada uma passo a passo.

Passo 3

Calcular \frac{\partial f}{\partial x}. Começo com a expressão dada:
f(x,y)=x^{2}+3y^{2}.
Ao derivar em relação a x, tratamos \;y\; como constante. A derivada de \;x^{2}\; em relação a \;x\; é 2x. A derivada de \;3y^{2}\; em relação a \;x\; é 0 porque não depende de x. Logo:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+0=2x.

Passo 4

Calcular \frac{\partial f}{\partial y}. Agora derivamos em relação a \;y\;, mantendo \;x\; fixo. A derivada de \;x^{2}\; em relação a \;y\; é 0 (não depende de y). A derivada de \;3y^{2}\; em relação a \;y\; é 3\cdot 2y=6y. Portanto:
\frac{\partial f}{\partial y}=0+6y=6y.

Passo 5

Agora juntamos as duas derivadas parciais no vetor gradiente. Assim:
\nabla f(x,y)=\left(2x,\;6y\right).
Interpretando rapidinho (só para dar intuição): esse vetor aponta na direção de maior aumento de f no ponto (x,y), e suas componentes mostram quanto f cresce se a gente variar x ou y separadamente. Exemplo numérico: em (x,y)=(1,2) temos \nabla f(1,2)=(2,12).

Resposta

\nabla f(x,y)=\left(2x,6y\right)

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