Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
c)
c)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada dessa função. Observações imediatas retiradas do enunciado:
- A função envolve
, portanto o domínio natural é . - A tarefa é encontrar
para .
Passo 2
Para facilitar o cálculo, reescrevo a função usando uma potência negativa. Isso evita ficar fazendo divisão e torna o uso da regra da cadeia mais direto. Escrevo:
Passo 3
Vou explicar a regra que vou usar (regra da cadeia combinada com a regra da potência) de forma bem clara e com nomes das partes:
- Se temos uma função composta do tipo
, a derivada é dada por
Aqui
é a “função interna” e
é o expoente (um número). Essa fórmula é a regra da potência aplicada a uma função composta — o famoso “deriva a potência e multiplica pela derivada da interna”.
- Se houver um fator constante multiplicando, por exemplo
com constante, então
- Também precisamos da derivada de
, que é
Exemplo rápido para fixar: se
, então usando a regra acima
ou seja, derive a potência e multiplique pela derivada da função interna
.
Passo 4
Agora aplico essas regras à nossa função. Identifico:
e há um fator constante
multiplicando. Primeiro calculemos
:
Passo 5
Aplico a regra da potência composta e o fator constante. Usando
e pela regra da cadeia
Substituindo
obtemos
Multiplicando pelo
que estava fora:
Passo 6
Só falta escrever de forma mais “bonitinha” (fracionária) para ficar claro na prova. Convertendo a potência negativa em denominador:
Pronto — vimos passo a passo: reescrever como potência, aplicar regra da potência + cadeia, usar
e simplificar.