Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
c) f_{3}(x)=\frac{2}{(2+\ln x)^{2}}\'

Passo 1

O enunciado dá a função
f_{3}(x)=\frac{2}{(2+\ln x)^{2}}
e pede para calcular a derivada dessa função. Observações imediatas retiradas do enunciado:
  • A função envolve \ln x, portanto o domínio natural é x>0.
  • A tarefa é encontrar f_{3}'(x) para x>0.

Passo 2

Para facilitar o cálculo, reescrevo a função usando uma potência negativa. Isso evita ficar fazendo divisão e torna o uso da regra da cadeia mais direto. Escrevo:
f_{3}(x)=2\,(2+\ln x)^{-2}.

Passo 3

Vou explicar a regra que vou usar (regra da cadeia combinada com a regra da potência) de forma bem clara e com nomes das partes:
  • Se temos uma função composta do tipo [g(x)]^{n}, a derivada é dada por
\frac{d}{dx}\bigl([g(x)]^{n}\bigr)=n\,[g(x)]^{n-1}\cdot g'(x).
Aqui g(x) é a “função interna” e n é o expoente (um número). Essa fórmula é a regra da potência aplicada a uma função composta — o famoso “deriva a potência e multiplica pela derivada da interna”.
  • Se houver um fator constante multiplicando, por exemplo a\cdot h(x) com a constante, então
\frac{d}{dx}\bigl(a\cdot h(x)\bigr)=a\cdot h'(x).
  • Também precisamos da derivada de \ln x, que é
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\qquad\text{(para \(x>0\)).}
Exemplo rápido para fixar: se h(x)=(\sin x)^3, então usando a regra acima
h'(x)=3(\sin x)^2\cdot\cos x,
ou seja, derive a potência e multiplique pela derivada da função interna \sin x.

Passo 4

Agora aplico essas regras à nossa função. Identifico:
g(x)=2+\ln x\quad\text{e}\quad n=-2,
e há um fator constante 2 multiplicando. Primeiro calculemos g'(x):
g'(x)=\frac{d}{dx}(2+\ln x)=\frac{d}{dx}(2)+\frac{d}{dx}(\ln x)=0+\frac{1}{x}=\frac{1}{x}.

Passo 5

Aplico a regra da potência composta e o fator constante. Usando
\frac{d}{dx}\bigl(2\,(2+\ln x)^{-2}\bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}\bigl((2+\ln x)^{-2}\bigr),
e pela regra da cadeia
\frac{d}{dx}\bigl((2+\ln x)^{-2}\bigr)=-2\,(2+\ln x)^{-3}\cdot g'(x).
Substituindo g'(x)=\dfrac{1}{x} obtemos
\frac{d}{dx}\bigl((2+\ln x)^{-2}\bigr)=-2\,(2+\ln x)^{-3}\cdot\frac{1}{x}.
Multiplicando pelo 2 que estava fora:
f_{3}'(x)=2\cdot\left(-2\,(2+\ln x)^{-3}\cdot\frac{1}{x}\right)=-4\,(2+\ln x)^{-3}\cdot\frac{1}{x}.

Passo 6

Só falta escrever de forma mais “bonitinha” (fracionária) para ficar claro na prova. Convertendo a potência negativa em denominador:
f_{3}'(x)=-\frac{4}{x\,(2+\ln x)^{3}},\qquad x>0.
Pronto — vimos passo a passo: reescrever como potência, aplicar regra da potência + cadeia, usar \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x} e simplificar.

Resposta

f_{3}'(x)=-\frac{4}{x\,(2+\ln x)^{3}}

Exercícios relacionados