Calcule:
a. Seu valor raproximado pela regra de 1 / 3 de Simpson, usando 3 e 6 subintervalos. Compare os valores encontrados.
b. Quantos subintervalos devemos ter se quisermos obtermos uma precisão de cálculo \leq 10^{-9} utilizando a regra de 1 / 3 de Simpson.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{0}^{0,6}\left(e^{5 x}+x^{2}\right) d x
usando a regra de 1/3 de Simpson com 3 e 6 subintervalos (parte a) e, na parte b, determinar quantos subintervalos são necessários para obter precisão \leq 10^{-9} usando a mesma regra. Informações dadas: o integrando é f(x)=e^{5x}+x^{2}, o intervalo é [0,0,6]. Observação importante (relevante para a execução): a regra composta de Simpson (regra de 1/3) exige que o número de subintervalos n seja par. Portanto usar exatamente n=3 subintervalos NÃO é válido para aplicar diretamente a regra de 1/3. Vou então interpretar que o enunciado queria uma aproximação com o caso mínimo par próximo a 3 (isto é, n=2, que corresponde a usar 3 pontos) e com n=6 subintervalos. Vou calcular para n=2 e n=6, comparar os resultados e, na parte (b), usar o limite de erro teórico da regra de Simpson para achar o n mínimo par que garante erro \leq 10^{-9}.
Passo 2
Apresentação da regra de Simpson composta (aula rápida e intuitiva). Suponha que queremos aproximar
\int_{a}^{b} f(x)\,dx
dividindo [a,b] em n subintervalos iguais, com n par. Definimos o tamanho do passo
h=\frac{b-a}{n}.
A fórmula composta de Simpson (regra de 1/3 composta) é
onde x_{i}=a+i h. Interpretação: os pontos ímpares recebem peso 4 e os pares (exceto extremos) peso 2; as extremidades peso 1. Isso vem da combinação de aproximações por parábolas sobre pares de subintervalos.
Erro teórico: existe uma estimativa uniforme do erro da regra composta de Simpson dada por
Aqui f^{(4)} é a quarta derivada de f e o máximo é sobre todo o intervalo. Essa fórmula nos permitirá, na parte (b), escolher n para garantir uma precisão desejada.
Passo 3
Calculemos a integral exata para termos referência e podermos comparar as aproximações (isso também é útil para estimar erros reais). Separando:
Comparação dos resultados (interpretação didática): com n=2 (equivalente a 3 pontos) obtivemos S_{2}\approx 3,973229320453993, erro \approx 8,41\times 10^{-2}. Com n=6 obtivemos S_{6}\approx 3,890394332831124, erro \approx 1,29\times 10^{-3}. Ou seja, aumentar n de 2 para 6 diminuiu o erro de cerca de duas ordens de grandeza, como esperado, porque o erro teórico escala com h^{4} (reduzir h a metade reduz o erro por um fator cerca 2^{4}=16, e aumentando mais n obtemos redução significativa).
Passo 7
Parte (b): determinar n para garantir erro \le 10^{-9} usando o limite teórico. Preciso de \max_{[0,0,6]}|f^{(4)}(x)|. Calculamos derivadas:
Portanto o menor inteiro que satisfaz é n=272. Como a regra exige n par, escolhemos
n=272.
Resposta
a) Aproximações: com n=2 (equivalente a usar 3 pontos): S\approx 3,973229320453993. com n=6: S\approx 3,890394332831124. Valor exato I\approx 3,8891073846375334. Comparação: o erro para n=2 é \approx 0,0841219358 e para n=6 é \approx 0,0012869482 (portanto n=6 é muito mais preciso).
b) Número mínimo de subintervalos (par) para erro \leq 10^{-9}: n=272.