1. Utilizando a integral:
\int_{0}^{0,6}\left(e^{5 x}+x^{2}\right) d x
Calcule:
a. Seu valor raproximado pela regra de 1 / 3 de Simpson, usando 3 e 6 subintervalos. Compare os valores encontrados.
b. Quantos subintervalos devemos ter se quisermos obtermos uma precisão de cálculo \leq 10^{-9} utilizando a regra de 1 / 3 de Simpson.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{0}^{0,6}\left(e^{5 x}+x^{2}\right) d x
usando a regra de 1/3 de Simpson com 3 e 6 subintervalos (parte a) e, na parte b, determinar quantos subintervalos são necessários para obter precisão \leq 10^{-9} usando a mesma regra. Informações dadas: o integrando é f(x)=e^{5x}+x^{2}, o intervalo é [0,0,6]. Observação importante (relevante para a execução): a regra composta de Simpson (regra de 1/3) exige que o número de subintervalos n seja par. Portanto usar exatamente n=3 subintervalos NÃO é válido para aplicar diretamente a regra de 1/3. Vou então interpretar que o enunciado queria uma aproximação com o caso mínimo par próximo a 3 (isto é, n=2, que corresponde a usar 3 pontos) e com n=6 subintervalos. Vou calcular para n=2 e n=6, comparar os resultados e, na parte (b), usar o limite de erro teórico da regra de Simpson para achar o n mínimo par que garante erro \leq 10^{-9}.

Passo 2

Apresentação da regra de Simpson composta (aula rápida e intuitiva). Suponha que queremos aproximar
\int_{a}^{b} f(x)\,dx
dividindo [a,b] em n subintervalos iguais, com n par. Definimos o tamanho do passo
h=\frac{b-a}{n}.
A fórmula composta de Simpson (regra de 1/3 composta) é
S=\frac{h}{3}\left[f(x_{0})+f(x_{n})+4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f(x_{i})+2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2} f(x_{i})\right],í
onde x_{i}=a+i h. Interpretação: os pontos ímpares recebem peso 4 e os pares (exceto extremos) peso 2; as extremidades peso 1. Isso vem da combinação de aproximações por parábolas sobre pares de subintervalos.
Erro teórico: existe uma estimativa uniforme do erro da regra composta de Simpson dada por
|E|\le \frac{b-a}{180}\,h^{4}\,\max_{x\in[a,b]}|f^{(4)}(x)|.
Aqui f^{(4)} é a quarta derivada de f e o máximo é sobre todo o intervalo. Essa fórmula nos permitirá, na parte (b), escolher n para garantir uma precisão desejada.

Passo 3

Calculemos a integral exata para termos referência e podermos comparar as aproximações (isso também é útil para estimar erros reais). Separando:
\int_{0}^{0,6}\left(e^{5x}+x^{2}\right)dx=\int_{0}^{0,6} e^{5x}dx+\int_{0}^{0,6}x^{2}dx.
Calculamos cada parte:
\int e^{5x}dx=\frac{1}{5}e^{5x}\quad\Rightarrow\quad \int_{0}^{0,6} e^{5x}dx=\frac{1}{5}\left(e^{3}-1\right),
pois 5\cdot 0,6=3. E
\int_{0}^{0,6}x^{2}dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{0,6}=\frac{(0,6)^{3}}{3}=\frac{0,216}{3}=0,072.
Portanto o valor exato é
I=\frac{1}{5}\left(e^{3}-1\right)+0,072\approx 3,8891073846375334.

Passo 4

Aplicando a regra de Simpson para n=2 (equivalente a usar 3 pontos: x_{0}=0, x_{1}=0,3, x_{2}=0,6). Primeiro calculemos h e os valores de f:
h=\frac{0,6-0}{2}=0,3.
Os nós são x_{0}=0, x_{1}=0,3, x_{2}=0,6. Calculamos f(x)=e^{5x}+x^{2} em cada nó:
f(0)=e^{0}+0=1,
f(0,3)=e^{1,5}+0,3^{2}\approx 4,4816890703380645+0,09=4,571689070338065,
f(0,6)=e^{3}+0,6^{2}\approx 20,085536923187667+0,36=20,445536923187667.
Agora a fórmula de Simpson:
S_{2}=\frac{h}{3}\left[f(x_{0})+f(x_{2})+4f(x_{1})\right].
Substituindo números:
S_{2}=\frac{0,3}{3}\left[1+20,445536923187667+4\cdot 4,571689070338065\right] =0,1\cdot 39,73229320453993 =3,973229320453993.
Erro real relativo ao exato:
|S_{2}-I|\approx 3,973229320453993-3,8891073846375334\approx 0,0841219358164596.

Passo 5

Aplicando a regra de Simpson para n=6. Calculamos h, os nós e os valores f(x_{i}).
h=\frac{0,6}{6}=0,1.
Nós: x_{0}=0, x_{1}=0,1, x_{2}=0,2, x_{3}=0,3, x_{4}=0,4, x_{5}=0,5, x_{6}=0,6.
Calculamos f em cada nó:
f(0)=1,
f(0,1)=e^{0,5}+0,1^{2}\approx 1,6487212707001282+0,01=1,6587212707001282,
f(0,2)=e^{1}+0,04\approx 2,718281828459045+0,04=2,758281828459045,
f(0,3)=4,571689070338065\quad\text{(já calculado)},á
f(0,4)=e^{2}+0,16\approx 7,38905609893065+0,16=7,54905609893065,
f(0,5)=e^{2,5}+0,25\approx 12,182493960703473+0,25=12,432493960703473,
f(0,6)=20,445536923187667\quad\text{(já calculado)}.á
Agora aplicamos a fórmula composta:
S_{6}=\frac{h}{3}\Big[f(x_{0})+f(x_{6})+4\sum_{i\\ \text{ímpar}} f(x_{i})+2\sum_{i\\ \text{par},\,i\neq 0,6} f(x_{i})\Big].í
Somando:
\sum_{i\\ \text{ímpar}} f(x_{i})=f(0,1)+f(0,3)+f(0,5) \approx 1,6587212707001282+4,571689070338065+12,432493960703473=18,662904301741667,í
\sum_{i\\ \text{par},\,i\neq 0,6} f(x_{i})=f(0,2)+f(0,4)\approx 2,758281828459045+7,54905609893065=10,307337927389695.
Substituindo:
S_{6}=\frac{0,1}{3}\left[1+20,445536923187667+4\cdot 18,662904301741667+2\cdot 10,307337927389695\right].
Calculando a expressão interna:
1+20,445536923187667=21,445536923187667,
4\cdot 18,662904301741667=74,65161720696667,
2\cdot 10,307337927389695=20,61467585477939.
Soma interna =116,71182998493373. Então
S_{6}=0,03333333333333333\cdot 116,71182998493373\approx 3,890394332831124.
Erro real:
|S_{6}-I|\approx 3,890394332831124-3,8891073846375334\approx 0,0012869481935906.

Passo 6

Comparação dos resultados (interpretação didática): com n=2 (equivalente a 3 pontos) obtivemos S_{2}\approx 3,973229320453993, erro \approx 8,41\times 10^{-2}. Com n=6 obtivemos S_{6}\approx 3,890394332831124, erro \approx 1,29\times 10^{-3}. Ou seja, aumentar n de 2 para 6 diminuiu o erro de cerca de duas ordens de grandeza, como esperado, porque o erro teórico escala com h^{4} (reduzir h a metade reduz o erro por um fator cerca 2^{4}=16, e aumentando mais n obtemos redução significativa).

Passo 7

Parte (b): determinar n para garantir erro \le 10^{-9} usando o limite teórico. Preciso de \max_{[0,0,6]}|f^{(4)}(x)|. Calculamos derivadas:
f(x)=e^{5x}+x^{2},
f'(x)=5e^{5x}+2x,\quad f''(x)=25e^{5x}+2,\quad f^{(3)}(x)=125e^{5x},\quad f^{(4)}(x)=625e^{5x}.
Como e^{5x} é crescente, o máximo no intervalo [0,0,6] ocorre em x=0,6:
\max_{[0,0,6]}|f^{(4)}(x)|=625e^{5\cdot 0,6}=625e^{3}\approx 625\cdot 20,085536923187667\approx 12553,460576992292.
O erro é limitado por
|E|\le \frac{b-a}{180}h^{4}\,M,
com b-a=0,6, h=\dfrac{0,6}{n} e M\approx 12553,460576992292. Substituindo:
|E|\le \frac{0,6}{180}\left(\frac{0,6}{n}\right)^{4}M =\left(\frac{0,6}{180}\cdot 0,6^{4}M\right)\frac{1}{n^{4}}.
Calculamos a constante:
\frac{0,6}{180}\cdot 0,6^{4}=\frac{0,6\cdot 0,1296}{180}=0,000432.
Logo
|E|\le \frac{0,000432\cdot M}{n^{4}}=\frac{5,42309496925267}{n^{4}}\quad(\text{aprox.}),
pois 0,000432\cdot 12553,460576992292\approx 5,42309496925267. Queremos
\frac{5,42309496925267}{n^{4}}\le 10^{-9}\quad\Rightarrow\quad n^{4}\ge 5,42309496925267\times 10^{9}.
Fazendo a raiz quarta:
n\ge\left(5,42309496925267\times 10^{9}\right)^{1/4}\approx 271,37.
Portanto o menor inteiro que satisfaz é n=272. Como a regra exige n par, escolhemos
n=272.

Resposta

a) Aproximações: com n=2 (equivalente a usar 3 pontos): S\approx 3,973229320453993. com n=6: S\approx 3,890394332831124. Valor exato I\approx 3,8891073846375334. Comparação: o erro para n=2 é \approx 0,0841219358 e para n=6 é \approx 0,0012869482 (portanto n=6 é muito mais preciso).
b) Número mínimo de subintervalos (par) para erro \leq 10^{-9}: n=272.

Exercícios relacionados