Regra de Três Composta
Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Outra enche o mesmo tanque em 4 horas. Se as duas forem abertas juntas, quanto tempo levarão para encher o tanque?

Passo 1

O enunciado nos informa que a primeira torneira enche o tanque em 6 horas e a segunda torneira enche o mesmo tanque em 4 horas. A pergunta é: se as duas torneiras forem abertas juntas, quanto tempo levarão para encher o tanque?

Passo 2

Vamos entender o que significa “enche em t horas”: isso quer dizer que, trabalhando sozinha, a torneira faz 1 tanque em t horas. Então podemos associar a cada torneira uma taxa (ou vazão) medida em “tanques por hora”. A ideia útil é: se uma máquina faz 1 tarefa em t horas, sua taxa é \dfrac{1}{t} tarefa por hora. Exemplo simples: se uma torneira enche em 2 horas, sua taxa é \dfrac{1}{2} tanque por hora (metade do tanque por hora).
Aplicando isso ao nosso problema: a taxa da primeira torneira é
r_1=\frac{1}{6}\\ \text{(tanques por hora)}
e a taxa da segunda torneira é
r_2=\frac{1}{4}\\ \text{(tanques por hora)}.

Passo 3

Quando duas fontes de trabalho atuam juntas (duas torneiras enchendo o mesmo tanque), as contribuições se somam: a cada hora a primeira fornece r_1 do tanque e a segunda fornece r_2 do tanque, então juntas fornecem r_1+r_2 do tanque por hora. Esse é o motivo pelo qual somamos as taxas.
Somando as taxas:
r_1+r_2=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}.
Para somar frações, colocamos no mesmo denominador. Um denominador comum é 12, então
\frac{1}{6}=\frac{2}{12},\qquad \frac{1}{4}=\frac{3}{12},
logo
r_1+r_2=\frac{2}{12}+\frac{3}{12}=\frac{5}{12}\\ \text{(tanques por hora)}.

Passo 4

Se a taxa conjunta é \dfrac{5}{12} tanque por hora, o tempo necessário para completar 1 tanque é o recíproco dessa taxa:
T=\frac{1}{r_1+r_2}=\frac{1}{\tfrac{5}{12}}=\frac{12}{5}\\ \text{horas}.
Usamos aqui a propriedade de divisão por uma fração: dividir por \tfrac{5}{12} é multiplicar por seu recíproco \tfrac{12}{5}.
Convertendo \dfrac{12}{5} horas para horas e minutos: escrevemos
\frac{12}{5}=2+\frac{2}{5}.
A parte fracionária \tfrac{2}{5} de uma hora em minutos é
\frac{2}{5}\times 60 = 24\\ \text{minutos}.
Portanto o tempo é 2 horas e 24 minutos. (Opcional: em forma decimal, \dfrac{12}{5}=2{,}4 horas.)

Passo 5

Dica rápida para a prova: para dois trabalhadores com tempos a e b, o tempo conjunto é frequentemente dado por
T=\frac{a\cdot b}{a+b}.
Aqui isso dá T=\dfrac{6\cdot 4}{6+4}=\dfrac{24}{10}=\dfrac{12}{5} horas, que é o mesmo resultado. Essa fórmula vem de resolver \dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}.

Resposta

\dfrac{12}{5} horas = 2 horas e 24 minutos

Exercícios relacionados