Sistema de Equações
Resolva o sistema:
2 x+y=10
x-y=2

Passo 1

O enunciado dá um sistema de duas equações lineares e pede encontrar os valores de x e y. As informações fornecidas são:
2x + y = 10
x - y = 2
O que se pede: determinar o par (x,y) que satisfaz simultaneamente as duas equações.

Passo 2

Escolhendo um método: aqui vou usar o método da eliminação (também chamado de combinação linear) porque as equações têm y com coeficientes +1 e -1, o que facilita eliminar y somando as equações. Breve lembrete do método: podemos somar ou subtrair as equações (ou multiplicá-las por constantes antes) porque essas operações produzem uma nova equação cuja solução comum é a mesma do sistema original.

Passo 3

Escrevo novamente as equações para somar termo a termo:
2x + y = 10
x - y = 2

Passo 4

Somando as duas equações membro a membro para eliminar y:
(2x+y) + (x-y) = 10 + 2
No lado esquerdo, y e -y se cancelam, e 2x + x = 3x. No lado direito, 10+2=12. Logo:
3x = 12

Passo 5

Agora resolvo para x. Divido ambos os lados por 3:
x = \frac{12}{3} = 4.

Passo 6

Com x encontrado, prossigo para achar y substituindo x=4 em uma das equações originais. Uso a segunda equação porque é simples:
x - y = 2
Substituindo x=4:
4 - y = 2
Agora isolo y. Subtraio 4 de ambos os lados:
-y = 2 - 4
-y = -2
Multiplico por -1:
y = 2.

Passo 7

Verificação: substituo (x,y)=(4,2) nas duas equações para confirmar.
Na primeira:
2x + y = 2\cdot 4 + 2 = 8 + 2 = 10,
ok.
Na segunda:
x - y = 4 - 2 = 2,
ok. Portanto a solução está correta.

Passo 8

Mini-aula rápida sobre operações válidas em sistemas lineares:
  • Podemos somar ou subtrair equações ou multiplicar uma equação por um número diferente de zero sem alterar o conjunto de soluções do sistema. Isso porque essas operações correspondem a combinar linearmente as igualdades mantendo igualdade verdadeira.
  • Alternativa: método da substituição consiste em isolar uma variável numa equação (por exemplo, y em função de x) e substituir na outra; funciona igualmente bem. Exemplo rápido: de x-y=2 isolamos y=x-2 e substituímos em 2x+y=10, obtendo 2x+(x-2)=10, que leva a 3x=12, mesmo resultado.

Resposta

\;x=4
\;y=2

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