Sistema de Equações
Resolva o sistema:
Passo 1
O enunciado dá um sistema de duas equações lineares e pede encontrar os valores de
e
. As informações fornecidas são:
O que se pede: determinar o par
que satisfaz simultaneamente as duas equações.
Passo 2
Escolhendo um método: aqui vou usar o método da eliminação (também chamado de combinação linear) porque as equações têm
com coeficientes
e
, o que facilita eliminar
somando as equações. Breve lembrete do método: podemos somar ou subtrair as equações (ou multiplicá-las por constantes antes) porque essas operações produzem uma nova equação cuja solução comum é a mesma do sistema original.
Passo 3
Escrevo novamente as equações para somar termo a termo:
Passo 4
Somando as duas equações membro a membro para eliminar
:
No lado esquerdo,
e
se cancelam, e
. No lado direito,
. Logo:
Passo 5
Agora resolvo para
. Divido ambos os lados por
:
Passo 6
Com
encontrado, prossigo para achar
substituindo
em uma das equações originais. Uso a segunda equação porque é simples:
Substituindo
:
Agora isolo
. Subtraio
de ambos os lados:
Multiplico por
:
Passo 7
Verificação: substituo
nas duas equações para confirmar.
Na primeira:
Na primeira:
ok.
Na segunda:
Na segunda:
ok. Portanto a solução está correta.
Passo 8
Mini-aula rápida sobre operações válidas em sistemas lineares:
- Podemos somar ou subtrair equações ou multiplicar uma equação por um número diferente de zero sem alterar o conjunto de soluções do sistema. Isso porque essas operações correspondem a combinar linearmente as igualdades mantendo igualdade verdadeira.
- Alternativa: método da substituição consiste em isolar uma variável numa equação (por exemplo,
em função de ) e substituir na outra; funciona igualmente bem. Exemplo rápido: de isolamos e substituímos em , obtendo , que leva a , mesmo resultado.