5-) Pelas regras calcule derivadas parciais solicitadas
Derivadas - regra do produto
f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)(x+y)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)(x+y) e pede que sejam calculadas as derivadas parciais em relação a x e em relação a y.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)(x+y).
    Perguntas a responder:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y).
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Passo 2

O que é uma derivada parcial?
A derivada parcial de f em relação a x, denotada \dfrac{\partial f}{\partial x}, é a taxa de variação de f quando só x varia e y fica fixo. Formalmente uma definição:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Na prática, para funções polinomiais, usamos regras de derivação normais, tratando y como uma constante quando diferenciamos em relação a x, e vice‑versa para \dfrac{\partial f}{\partial y}.

Passo 3

Regra do produto para derivadas parciais: se f(x,y)=u(x,y)\,v(x,y) então (exatamente como em cálculo de uma variável)
\frac{\partial f}{\partial x}=(\partial_{x}u)\,v+u\,(\partial_{x}v), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=(\partial_{y}u)\,v+u\,(\partial_{y}v).
Aqui \partial_{x}u significa \dfrac{\partial u}{\partial x} (derivada parcial de u em relação a x), etc. A ideia é: derive a primeira mantendo a segunda, mais derive a segunda mantendo a primeira.

Passo 4

Escolha do método:
Duas maneiras fáceis e equivalentes:
  • Usar diretamente a regra do produto com u=x^{2}+y^{2} e v=x+y. (mais direto para mostrar a regra)
  • Expandir (x^{2}+y^{2})(x+y) em monômios e derivar termo a termo. (bom para checar o resultado)
    Vou aplicar primeiro a regra do produto, depois farei a expansão para verificar.

Passo 5

Aplicando a regra do produto para \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Defina u(x,y)=x^{2}+y^{2} e v(x,y)=x+y.
Calcule as derivadas parciais necessárias:
\partial_{x}u=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x, \qquad \partial_{x}v=\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1,
onde ao diferenciar y^{2} em relação a x tratou‑se y como constante (logo derivada zero).
Agora aplique a fórmula do produto:
\frac{\partial f}{\partial x}=(\partial_{x}u)\,v+u\,(\partial_{x}v)=2x(x+y)+(x^{2}+y^{2})\cdot 1.
Simplificando:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x(x+y)+x^{2}+y^{2}=2x^{2}+2xy+x^{2}+y^{2}=3x^{2}+2xy+y^{2}.

Passo 6

Aplicando a regra do produto para \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Calcule as derivadas parciais em relação a y:
\partial_{y}u=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y, \qquad \partial_{y}v=\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1,
onde ao diferenciar x^{2} em relação a y tratou‑se x como constante.
Aplique a fórmula:
\frac{\partial f}{\partial y}=(\partial_{y}u)\,v+u\,(\partial_{y}v)=2y(x+y)+(x^{2}+y^{2})\cdot 1.
Simplificando:
\frac{\partial f}{\partial y}=2y(x+y)+x^{2}+y^{2}=2xy+2y^{2}+x^{2}+y^{2}=x^{2}+2xy+3y^{2}.

Passo 7

Verificação por expansão (checagem extra, útil na prova):
Expanda a função:
f(x,y)=(x^{2}+y^{2})(x+y)=x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}.
Derive termo a termo em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+2xy+y^{2},
o mesmo resultado obtido antes.
Derive termo a termo em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+2xy+3y^{2},
confirmando o resultado anterior.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (motivação amigável):
  • Se a função for produto de polinômios, usar a regra do produto é rápido; expandir também funciona e às vezes evita erros de sinal.
  • Sempre anote quais termos são tratados como constantes quando deriva em relação a uma variável.
  • Verifique resultado com a expansão quando tiver tempo; é uma checagem simples que pega muitos erros bobos. Força aí — você consegue!

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}+2xy+y^{2}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}+2xy+3y^{2}

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