5-) Pelas regras calcule derivadas parciais solicitadas
Derivadas - regra do produto
Derivadas - regra do produto
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que sejam calculadas as derivadas parciais em relação a
e em relação a
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
.
Perguntas a responder: - Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
O que é uma derivada parcial?
A derivada parcial de em relação a
, denotada
, é a taxa de variação de
quando só
varia e
fica fixo. Formalmente uma definição:
A derivada parcial de
Na prática, para funções polinomiais, usamos regras de derivação normais, tratando
como uma constante quando diferenciamos em relação a
, e vice‑versa para
.
Passo 3
Regra do produto para derivadas parciais: se
então (exatamente como em cálculo de uma variável)
Aqui
significa
(derivada parcial de
em relação a
), etc. A ideia é: derive a primeira mantendo a segunda, mais derive a segunda mantendo a primeira.
Passo 4
Escolha do método:
Duas maneiras fáceis e equivalentes:
Duas maneiras fáceis e equivalentes:
- Usar diretamente a regra do produto com
e . (mais direto para mostrar a regra) - Expandir
em monômios e derivar termo a termo. (bom para checar o resultado)
Vou aplicar primeiro a regra do produto, depois farei a expansão para verificar.
Passo 5
Aplicando a regra do produto para
.
Defina e
.
Calcule as derivadas parciais necessárias:
Defina
Calcule as derivadas parciais necessárias:
onde ao diferenciar
em relação a
tratou‑se
como constante (logo derivada zero).
Agora aplique a fórmula do produto:
Agora aplique a fórmula do produto:
Simplificando:
Passo 6
Aplicando a regra do produto para
.
Calcule as derivadas parciais em relação a :
Calcule as derivadas parciais em relação a
onde ao diferenciar
em relação a
tratou‑se
como constante.
Aplique a fórmula:
Aplique a fórmula:
Simplificando:
Passo 7
Verificação por expansão (checagem extra, útil na prova):
Expanda a função:
Expanda a função:
Derive termo a termo em relação a
(tratando
como constante):
o mesmo resultado obtido antes.
Derive termo a termo em relação a :
Derive termo a termo em relação a
confirmando o resultado anterior.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (motivação amigável):
- Se a função for produto de polinômios, usar a regra do produto é rápido; expandir também funciona e às vezes evita erros de sinal.
- Sempre anote quais termos são tratados como constantes quando deriva em relação a uma variável.
- Verifique resultado com a expansão quando tiver tempo; é uma checagem simples que pega muitos erros bobos. Força aí — você consegue!