5-) Pelas regras calcule derivadas parciais solicitadas
Misturando regras
Misturando regras
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para calcular as derivadas parciais em relação a
e a
. Ou seja, precisamos encontrar
Passo 2
Antes de calcular, vamos relembrar as regras que vamos usar (explicadas de forma intuitiva e sem pular etapas).
-
Definição de derivada parcial: para a derivada parcial em relação a
, trata-se de derivar a função como se fosse constante; análogo para a derivada parcial em relação a , tratando como constante. -
Regra do quociente (versão para funções de várias variáveis): se
com
, então
Aqui
significa derivar
em relação a
mantendo
fixo.
- Regra da cadeia para exponencial: se
, então
No nosso caso
, e derivando
em relação a
com
constante dá
. Assim,
. De forma semelhante,
.
Dica prática para prova: identifique
e
, calcule
e aplique a fórmula do quociente; sempre que possível, fatorize
para simplificar cálculos.
Passo 3
Aplicando as ideias ao problema: vamos tomar
Primeiro calculemos as derivadas parciais de
e
necessárias.
- Derivadas de
:
porque, como explicado, ao derivar
em relação a
tratamos
como constante (e vice-versa).
- Derivadas de
:
Passo 4
Agora calculamos
usando a regra do quociente:
Substituindo os valores encontrados:
Agora fatoramos
(isso simplifica e é uma boa prática):
Se quiser distribuir,
Passo 5
Agora calculamos
de forma análoga:
Substituindo:
Fatorando
:
Ou, distribuindo,
Passo 6
Pequeno comentário de verificação e dica: podia-se também escrever
e usar a regra do produto combinada com a regra da cadeia para
(derivada é
vezes a derivada interna). Esse caminho dá exatamente as mesmas fórmulas acima; é útil lembrar as duas formas para escolher a mais confortável na prova.