5-) Pelas regras calcule derivadas parciais solicitadas
Misturando regras
f(x, y)=\frac{e^{x y}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)=\frac{e^{xy}}{x^{2}+y^{2}}
e pede para calcular as derivadas parciais em relação a x e a y. Ou seja, precisamos encontrar
\frac{\partial f}{\partial x}\quad\text{e}\quad\frac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

Antes de calcular, vamos relembrar as regras que vamos usar (explicadas de forma intuitiva e sem pular etapas).
  • Definição de derivada parcial: para a derivada parcial em relação a x, trata-se de derivar a função como se y fosse constante; análogo para a derivada parcial em relação a y, tratando x como constante.
  • Regra do quociente (versão para funções de várias variáveis): se
f(x,y)=\frac{u(x,y)}{v(x,y)}
com v\neq0, então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\frac{\partial u}{\partial x}\,v - u\,\frac{\partial v}{\partial x}}{v^{2}}.
Aqui \frac{\partial u}{\partial x} significa derivar u em relação a x mantendo y fixo.
  • Regra da cadeia para exponencial: se u(x,y)=e^{g(x,y)}, então
\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial g}{\partial x}\,e^{g(x,y)}.
No nosso caso g(x,y)=xy, e derivando g em relação a x com y constante dá \frac{\partial g}{\partial x}=y. Assim, \frac{\partial}{\partial x}e^{xy}=y e^{xy}. De forma semelhante, \frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=x e^{xy}.
Dica prática para prova: identifique u e v, calcule u_x,u_y,v_x,v_y e aplique a fórmula do quociente; sempre que possível, fatorize e^{xy} para simplificar cálculos.

Passo 3

Aplicando as ideias ao problema: vamos tomar
u(x,y)=e^{xy},\qquad v(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Primeiro calculemos as derivadas parciais de u e v necessárias.
  • Derivadas de u:
\frac{\partial u}{\partial x}=y e^{xy}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=x e^{xy},
porque, como explicado, ao derivar e^{xy} em relação a x tratamos y como constante (e vice-versa).
  • Derivadas de v:
\frac{\partial v}{\partial x}=2x, \qquad \frac{\partial v}{\partial y}=2y.

Passo 4

Agora calculamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} usando a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\frac{\partial u}{\partial x}\,v - u\,\frac{\partial v}{\partial x}}{v^{2}}.
Substituindo os valores encontrados:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\bigl(y e^{xy}\bigr)\,(x^{2}+y^{2}) - e^{xy}\,(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora fatoramos e^{xy} (isso simplifica e é uma boa prática):
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{e^{xy}\bigl(y(x^{2}+y^{2}) - 2x\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Se quiser distribuir,
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{e^{xy}\bigl(yx^{2}+y^{3}-2x\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 5

Agora calculamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} de forma análoga:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\frac{\partial u}{\partial y}\,v - u\,\frac{\partial v}{\partial y}}{v^{2}}.
Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\bigl(x e^{xy}\bigr)\,(x^{2}+y^{2}) - e^{xy}\,(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Fatorando e^{xy}:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{e^{xy}\bigl(x(x^{2}+y^{2}) - 2y\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Ou, distribuindo,
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{e^{xy}\bigl(xx^{2}+xy^{2}-2y\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{e^{xy}\bigl(x^{3}+x y^{2}-2y\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 6

Pequeno comentário de verificação e dica: podia-se também escrever
f(x,y)=e^{xy}\,(x^{2}+y^{2})^{-1}
e usar a regra do produto combinada com a regra da cadeia para (x^{2}+y^{2})^{-1} (derivada é -1\cdot (x^{2}+y^{2})^{-2} vezes a derivada interna). Esse caminho dá exatamente as mesmas fórmulas acima; é útil lembrar as duas formas para escolher a mais confortável na prova.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{e^{xy}\bigl(y(x^{2}+y^{2})-2x\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{e^{xy}\bigl(x(x^{2}+y^{2})-2y\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}

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