5-) Pelas regras calcule derivadas parciais solicitadas
Derivadas - regra do quociente
f(x, y)=\frac{x^{2}+y}{x+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais solicitadas da função
f(x,y)=\frac{x^{2}+y}{x+y^{2}}.
As perguntas claras que vou responder são:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Informações dadas: a expressão de f(x,y) acima (nenhuma outra condição adicional foi fornecida).

Passo 2

O que é uma derivada parcial?
Quando escrevemos \dfrac{\partial f}{\partial x} estamos derivando f em relação a x mantendo y fixo (tratamos y como constante). Analogamente, \dfrac{\partial f}{\partial y} deriva em relação a y mantendo x fixo. Isso significa que, ao derivar, qualquer termo que dependa apenas de y é considerado constante ao derivar em relação a x, e vice-versa.

Passo 3

Aqui é útil usar a regra do quociente para derivadas. Se tivermos
f(x,y)=\frac{u(x,y)}{v(x,y)},
então, para derivada parcial em relação a x,
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{v\,\frac{\partial u}{\partial x}-u\,\frac{\partial v}{\partial x}}{v^{2}}.
E, de forma análoga, para derivada parcial em relação a y,
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{v\,\frac{\partial u}{\partial y}-u\,\frac{\partial v}{\partial y}}{v^{2}}.
No nosso caso, defino as partes do quociente:
u(x,y)=x^{2}+y,\qquad v(x,y)=x+y^{2}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de u e v necessárias. Primeiro em relação a x:
  • Derivada parcial de u em relação a x: ao derivar x^{2}+y em relação a x, o termo y é constante, então
\frac{\partial u}{\partial x}=2x.
  • Derivada parcial de v em relação a x: ao derivar x+y^{2} em relação a x, y^{2} é constante, então
\frac{\partial v}{\partial x}=1.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente para \dfrac{\partial f}{\partial x}. Usando a fórmula:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{v\cdot\frac{\partial u}{\partial x}-u\cdot\frac{\partial v}{\partial x}}{v^{2}} =\frac{(x+y^{2})\cdot(2x)-(x^{2}+y)\cdot 1}{(x+y^{2})^{2}}.
Agora faço as contas passo a passo no numerador:
(x+y^{2})\cdot(2x)=2x^{2}+2x y^{2},
então
2x^{2}+2x y^{2}-(x^{2}+y)=2x^{2}+2x y^{2}-x^{2}-y=x^{2}+2x y^{2}-y.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x^{2}+2x y^{2}-y}{(x+y^{2})^{2}}.
Opcionalmente pode-se reescrever como
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x(x+2y^{2})-y}{(x+y^{2})^{2}},
se quiser evidenciar um fator x.

Passo 6

Agora calcular as derivadas parciais de u e v em relação a y:
  • Derivada parcial de u em relação a y: ao derivar x^{2}+y em relação a y, x^{2} é constante, logo
\frac{\partial u}{\partial y}=1.
  • Derivada parcial de v em relação a y: ao derivar x+y^{2} em relação a y, x é constante, então
\frac{\partial v}{\partial y}=2y.

Passo 7

Aplicar a regra do quociente para \dfrac{\partial f}{\partial y}. Pela fórmula:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{v\cdot\frac{\partial u}{\partial y}-u\cdot\frac{\partial v}{\partial y}}{v^{2}} =\frac{(x+y^{2})\cdot 1-(x^{2}+y)\cdot(2y)}{(x+y^{2})^{2}}.
Calculo o numerador passo a passo:
(x+y^{2})-2y(x^{2}+y)=x+y^{2}-2x^{2}y-2y^{2}=x-2x^{2}y-y^{2}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x-2x^{2}y-y^{2}}{(x+y^{2})^{2}}.
Também se pode reorganizar os termos, por exemplo:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{-2x^{2}y+x-y^{2}}{(x+y^{2})^{2}}.

Passo 8

Resumo e interpretação rápida (pra te motivar): as derivadas parciais foram obtidas aplicando a regra do quociente e lembrando de tratar a variável que não está sendo derivada como constante. Se na prova pedirem, dá para apresentar qualquer das formas algébricas equivalentes acima.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{x^{2}+2x y^{2}-y}{(x+y^{2})^{2}}\n
\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{x-2x^{2}y-y^{2}}{(x+y^{2})^{2}}

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