5-) Pelas regras calcule derivadas parciais solicitadas
Derivadas - regra do quociente
Derivadas - regra do quociente
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais solicitadas da função
As perguntas claras que vou responder são:
- Calcular
. - Calcular
.
Informações dadas: a expressão de
acima (nenhuma outra condição adicional foi fornecida).
Passo 2
O que é uma derivada parcial?
Quando escrevemos estamos derivando
em relação a
mantendo
fixo (tratamos
como constante). Analogamente,
deriva em relação a
mantendo
fixo. Isso significa que, ao derivar, qualquer termo que dependa apenas de
é considerado constante ao derivar em relação a
, e vice-versa.
Quando escrevemos
Passo 3
Aqui é útil usar a regra do quociente para derivadas. Se tivermos
então, para derivada parcial em relação a
,
E, de forma análoga, para derivada parcial em relação a
,
No nosso caso, defino as partes do quociente:
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
necessárias. Primeiro em relação a
:
- Derivada parcial de
em relação a : ao derivar em relação a , o termo é constante, então
- Derivada parcial de
em relação a : ao derivar em relação a , é constante, então
Passo 5
Aplicar a regra do quociente para
. Usando a fórmula:
Agora faço as contas passo a passo no numerador:
então
Portanto
Opcionalmente pode-se reescrever como
se quiser evidenciar um fator
.
Passo 6
Agora calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
:
- Derivada parcial de
em relação a : ao derivar em relação a , é constante, logo
- Derivada parcial de
em relação a : ao derivar em relação a , é constante, então
Passo 7
Aplicar a regra do quociente para
. Pela fórmula:
Calculo o numerador passo a passo:
Logo
Também se pode reorganizar os termos, por exemplo:
Passo 8
Resumo e interpretação rápida (pra te motivar): as derivadas parciais foram obtidas aplicando a regra do quociente e lembrando de tratar a variável que não está sendo derivada como constante. Se na prova pedirem, dá para apresentar qualquer das formas algébricas equivalentes acima.